已知:如圖,⊙O1和⊙O2外切于A,BC是⊙O1和⊙O2的公切線,切點(diǎn)分別為B、C.連結(jié)BA并延長(zhǎng)交⊙O1于D,過(guò)D點(diǎn)作CB的平行線分別交⊙O2于E、F.
(1)求證:CD是⊙O1的直徑;
(2)試判斷線段BC、BE、BF的大小關(guān)系,并證明你的結(jié)論.
證明:(1)過(guò)點(diǎn)A作⊙O1和⊙O2的內(nèi)公切線交BC于點(diǎn)G,連結(jié)AC. ∵GB、GA分別切⊙O2于B、A, ∴GB=GA. 同理GC=GA. ∴GA=GB=GC. ∴AB⊥AC,即∠CAD為直角. ∴CD是⊙O1的直徑. (2)結(jié)論為BC=BE=BF. 連結(jié)AE.在△CBA和△EBD中, ∵∠CBA=∠BEA,又∵BC∥FD, ∴∠CBA=∠BDE. ∴∠BEA=∠BDE. 又∵∠ABE=∠EBD, ∴△ABE∽△EBD. ∴ 由切割線定理,得BC2=BA·BD, ∴BE=BC. ∵∠CBE=∠BFE,又∵BC∥FD, ∴∠CBE=∠BEF. ∴∠BFE=∠FEB, ∴BE=BF. ∴BE=BF=BC. |
(1)證明CD所對(duì)的圓周角為直角,故需連結(jié)AC;(2)由BC是⊙O1切線,所以BC2=BA·BD,又易證BE2=BA·BD.證明BE=BF的一般方法是證明它們所對(duì)的圓周角相等. |
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