已知:如圖,⊙O1和⊙O2外切于A,BC是⊙O1和⊙O2的公切線,切點(diǎn)分別為B、C.連結(jié)BA并延長(zhǎng)交⊙O1于D,過(guò)D點(diǎn)作CB的平行線分別交⊙O2于E、F.

(1)求證:CD是⊙O1的直徑;

(2)試判斷線段BC、BE、BF的大小關(guān)系,并證明你的結(jié)論.

答案:
解析:

  證明:(1)過(guò)點(diǎn)A作⊙O1和⊙O2的內(nèi)公切線交BC于點(diǎn)G,連結(jié)AC.

  ∵GB、GA分別切⊙O2于B、A,

  ∴GB=GA.

  同理GC=GA.

  ∴GA=GB=GC.

  ∴AB⊥AC,即∠CAD為直角.

  ∴CD是⊙O1的直徑.

  (2)結(jié)論為BC=BE=BF.

  連結(jié)AE.在△CBA和△EBD中,

  ∵∠CBA=∠BEA,又∵BC∥FD,

  ∴∠CBA=∠BDE.

  ∴∠BEA=∠BDE.

  又∵∠ABE=∠EBD,

  ∴△ABE∽△EBD.

  ∴,得BE2=BA·BD.

  由切割線定理,得BC2=BA·BD,

  ∴BE=BC.

  ∵∠CBE=∠BFE,又∵BC∥FD,

  ∴∠CBE=∠BEF.

  ∴∠BFE=∠FEB,

  ∴BE=BF.

  ∴BE=BF=BC.


提示:

  (1)證明CD所對(duì)的圓周角為直角,故需連結(jié)AC;(2)由BC是⊙O1切線,所以BC2=BA·BD,又易證BE2=BA·BD.證明BE=BF的一般方法是證明它們所對(duì)的圓周角相等.


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精英家教網(wǎng)已知:如圖,⊙O1和⊙O2相交于A、B兩點(diǎn),經(jīng)過(guò)A的直線CD與⊙O1交于點(diǎn)C、與⊙O2交于點(diǎn)D,經(jīng)過(guò)點(diǎn)B的直線EF與⊙O1交于點(diǎn)E、與⊙O2交于點(diǎn)F,連接CE、DF.若∠AO1E=100°,則∠D的度數(shù)為
 
度.

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20、已知:如圖,⊙O1和⊙O2相交于A、B兩點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P在⊙O2上,且在⊙1外,直線PA、PB分別交⊙O1于C、D,問(wèn):⊙O1的弦CD的長(zhǎng)是否隨點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)而發(fā)生變化?如果發(fā)生變化,請(qǐng)你確定CD最長(zhǎng)和最短時(shí)P的位置,如果不發(fā)生變化,請(qǐng)你給出證明.

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已知:如圖,⊙O1和⊙O2相交于A、B兩點(diǎn),過(guò)B點(diǎn)作⊙O1的切線交⊙O2于D點(diǎn),連接DA并延精英家教網(wǎng)長(zhǎng)⊙O1相交于C點(diǎn),連接BC,過(guò)A點(diǎn)作AE∥BC與⊙O相交于E點(diǎn),與BD相交于F點(diǎn).
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3
,求EF的長(zhǎng).

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