Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（4，﹣），且與y軸交于點(diǎn)C（0，2），與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊）

（1）求拋物線的解析式及A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）若（1）中拋物線的對(duì)稱軸上有點(diǎn)P，使△ABP的面積等于△ABC的面積的2倍，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）在（1）中拋物線的對(duì)稱軸l上是否存在一點(diǎn)Q，使AQ+CQ的值最�。咳舸嬖�，求AQ+CQ的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為y=（x﹣4）2﹣，A（2，0），B（6，0）；

（2）點(diǎn)P坐標(biāo)（4，4）或（4，﹣4）；

（3）存在，QA+QC的最小值為．

【解析】（1）拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（4，﹣），可以假設(shè)拋物線為y=a（x﹣4）2﹣把點(diǎn)（0，2）代入得到a=，

∴拋物線的解析式為y=（x﹣4）2﹣．

令y=0得到（x﹣4）2﹣=0，解得x=2或6，

∴A（2，0），B（6，0）．

（2）設(shè)P（4，m），

由題意：4|m|=2××4×2，解得m=±4，

∴點(diǎn)P坐標(biāo)（4，4）或（4，﹣4）．

（3）存在．理由如下：

∵A、B關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，連接CB交對(duì)稱軸于Q，連接QA，此時(shí)QA+QC最短（兩點(diǎn)之間線段最短），

∴QA+QC的最小值=QA+QC=QB+QC=BC==．