Question

如圖，已知二次函數(shù)y=x²+4的頂點(diǎn)為B，與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)C（A點(diǎn)在C點(diǎn)的右側(cè)），以A為圓心，AB長為半徑的⊙A交x軸于點(diǎn)D和點(diǎn)E（E點(diǎn)在D點(diǎn)左側(cè)）
（1）求點(diǎn)D、E的坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)F（a，0）為x軸上一個(gè)動點(diǎn)（F點(diǎn)與D點(diǎn)不重合），求△DBF的面積S與a的函數(shù)關(guān)系式，并求當(dāng)S_△DBF=6時(shí)，點(diǎn)F的坐標(biāo)；
（3）當(dāng)點(diǎn)H為x軸上一點(diǎn)（與E點(diǎn)不重合），若△BOH與△BOE相似，求符合條件的H點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根據(jù)二次函數(shù)解析式求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，再利用勾股定理求出AB的長度，然后根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)與圓的半徑即可求解點(diǎn)D、E的坐標(biāo)；
（2）分①點(diǎn)F在點(diǎn)D的左邊，②點(diǎn)F在點(diǎn)D的右邊，兩種情況分別求出DF的長度，然后利用三角形的面積公式列式求解即可，把面積為6代入關(guān)系式求出a的值即可得到點(diǎn)F的坐標(biāo)；
（3）分①△BOE的邊OE與△BOH的邊OB是對應(yīng)邊，②△BOE的邊OE與△BOH的邊OH是對應(yīng)邊，兩種情況求出OH的長，然后再根據(jù)點(diǎn)H在原點(diǎn)左邊與右邊兩種情況分別求出點(diǎn)H的坐標(biāo)．
解答：解：（1）當(dāng)y=0時(shí)，x²+4=0，
解得x=3或x=-3（點(diǎn)A在x軸正半軸，舍去），
當(dāng)x=0時(shí)，y=0+4=4，
∴點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為A（3，0），B（0，4），
根據(jù)勾股定理，AB===5，
3+5=8，3-5=-2，
∴點(diǎn)D、E的坐標(biāo)分別為D（8，0），E（-2，0）；

（2）①點(diǎn)F在點(diǎn)D的左邊時(shí)（a＜8），DF=8-a，
∴S=DF•OB=（8-a）×4=-2a+16，
②點(diǎn)F在點(diǎn)D的右邊時(shí)（a＞8），DF=a-8，
∴S=DF•OB=（a-8）×4=2a-16，
當(dāng)S_△DBF=6時(shí)，-2a+16=6，解得a=5，
或2a-16=6，解得a=11，
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)是（5，0）或（11，0），
∴S與a的函數(shù)關(guān)系式為：S=-2a+16或S=2a-16；點(diǎn)F的坐標(biāo)是（5，0）或（11，0）；

（3）根據(jù)（1）的結(jié)論，OE=2，OB=4，
∴①△BOE的邊OE與△BOH的邊OB是對應(yīng)邊時(shí)，
=，
即=，
解得OH=8，
②△BOE的邊OE與△BOH的邊OH是對應(yīng)邊時(shí)，
=，
即=，
解得OH=2，
∵點(diǎn)H與E點(diǎn)不重合，
∴點(diǎn)H的坐標(biāo)是（8，0）或（-8，0）或（2，0）．
點(diǎn)評：本題是對二次函數(shù)的綜合考查，包括二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問題，三角形的面積求解，相似三角形對應(yīng)邊成比例的性質(zhì)，注意求解時(shí)要分情況討論，避免漏解而導(dǎo)致出錯．