Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=﹣ x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（﹣4，0）、B（6，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．
（1）如圖l，求拋物線的解析式；

（2）如圖2，點(diǎn)P為第一象限拋物線上一點(diǎn)，連接PC、PA，PA交y軸于點(diǎn)F，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，△CPF的面積為S．求S與t的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出自變量t的取值范圍）；

（3）如圖3，在（2）的條件下，連接BC，過點(diǎn)P作PD∥y軸變BC于點(diǎn)D，點(diǎn)H為AF中點(diǎn)，且點(diǎn)N（0，1），連接NH、BH，將∠NHB繞點(diǎn)H逆時針旋轉(zhuǎn)，使角的一條邊H落在射線HF上，另一條邊HN變拋物線于點(diǎn)Q，當(dāng)BH=BD時，求點(diǎn)Q坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線y=﹣ x2+bx+c過點(diǎn)A（﹣4，0），B（6，0），

∴ ，解得 ，

∴拋物線解析式為y=﹣ x2+x+12．

（2）

解：如圖1所示：過點(diǎn)P作PR⊥y軸，交y軸于點(diǎn)R，過點(diǎn)P作PL⊥AB于點(diǎn)L．

點(diǎn)P（t，﹣ t2+t+12），則AL=t+4，PL=﹣ t2+t+12=﹣ （t+4）（t﹣6）．

∴tan∠PAL= =3﹣ t．

在Rt△FAO中，tan∠FAO= = =3﹣ t．

∴OF=12﹣2t．

∴CF=CO﹣OF=12﹣（12﹣2t）=2t，

∴S△CPF= CFPR= ×2tt=t2．

（3）

解：延長PD交x軸于點(diǎn)L，取OA的中點(diǎn)K，連接HK，過點(diǎn)H作HG⊥y軸于點(diǎn)G，過點(diǎn)Q作QM⊥HG于點(diǎn)M．

∵OF=12﹣2t，點(diǎn)H為AF的中點(diǎn)，HK⊥OA，

∴HK= OF=6﹣t=BL．

∵在Rt△BHK和Rt△DBL中，HK=BL，BH=BD，

∴Rt△BHK≌Rt△DBL

∴BK=DL=8．

直線BC的解析式為y=﹣2x+12，

∴點(diǎn)D（t，﹣2t+12）．

∵DL=12﹣2t=8，

∴t=2．

∴點(diǎn)P（2，12），點(diǎn)H（﹣2，4）．

∴tan∠AHK=tan∠HBK= ，

∴∠AHK=∠HBK，

∴∠AHB=90°．

∵∠NHB=∠PHQ，

∴∠NHQ=90°，

∴∠HNG=∠QHM．

∵點(diǎn)N（0，1），HG=2，

∴GN=3，tan∠HNG=tan∠QHM= ， = ．

設(shè)點(diǎn)Q（m，﹣ m2+m+12），QM=﹣ m2+m+12﹣4=﹣ m2+m+8，HM=m+2．

∴ = ，解得：m1=﹣ （舍去），m2=4，

∴點(diǎn)Q（4，8）．

【解析】（1）將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入拋物線y=﹣ x2+bx+c的解析式，得到關(guān)于b、c的方程組，然后解得b、c的值即可；（2）過點(diǎn)P作PR⊥y軸，交y軸于點(diǎn)R，過點(diǎn)P作PL⊥AB于點(diǎn)L．設(shè)點(diǎn)P（t，﹣ t2+t+12），則AL=t+4，PL=﹣ （t+4）（t﹣6），可求得tan∠PAL=3﹣ t，從而得到=12﹣2t，最后依據(jù)S△CPF= CFPR求解即可；（3）延長PD交x軸于點(diǎn)L，取OA的中點(diǎn)K，連接HK，過點(diǎn)H作HG⊥y軸于點(diǎn)G，過點(diǎn)Q作QM⊥HG于點(diǎn)M．首先證明Rt△BHK≌Rt△DBL，從而得到BK=DL=8，然后求得直線BC的解析式，設(shè)點(diǎn)D（t，﹣2t+12），然后由DL=8可求得t的值，從而得到點(diǎn)P和點(diǎn)H的坐標(biāo)，然后再求得 = ，設(shè)點(diǎn)Q（m，﹣ m2+m+12），則QM=﹣ m2+m+8，HM=m+2，最后再依據(jù) = 列方程求解即可．