Question

如圖①：四邊形ABCD為正方形，M、N分別是BC和CD中點(diǎn)，AM與BN交于點(diǎn)P，
（1）請(qǐng)你用幾何變換的觀點(diǎn)寫(xiě)出△BCN是△ABM經(jīng)過(guò)什么幾何變換得來(lái)的；
（2）觀察圖①，圖中是否存在一個(gè)四邊形，這個(gè)四邊形的面積與△APB的面積相等？寫(xiě)出你的結(jié)論．（不必證明）
（3）如圖②：六邊形ABCDEF為正六邊形，M、N分別是CD和DE的中點(diǎn)，AM與BN交于點(diǎn)P，問(wèn)：你在（2）中所得的結(jié)論是否成立？若成立，寫(xiě)出結(jié)論并證明，若不成立請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的定義即可解答；
（2）根據(jù)△ABM≌△BCN即可判斷；
（3）四邊形BCDN是四邊形ABCM繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到，則兩個(gè)四邊形的面積相同，據(jù)此即可判斷．
解答：解：（1）△BCN是△ABM繞正方形中心O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到的（2分）
（△BCN是△ABM沿BC方向平移BC長(zhǎng)，使點(diǎn)B與點(diǎn)C重合，再繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到的）

（2）S_{四邊形PMCN}=S_△APB（3分）

（3）（2）中結(jié)論仍成立，即：S_{四邊形PMDN}=S_△APB（4分）
證明：設(shè)正六邊形ABCDEF中心為O
∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠MON=60°，
AO=BO，BO=CO，CO=DO，MO=NO．
∴四邊形BCDN是四邊形ABCM繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到的（6分）
∴S_{四邊形BCDN}=S_{四邊形ABCM}
∴S_{四邊形BCDN}-S_{四邊形BCMP}=S_{四邊形ABCM}-S_{四邊形BCMP}（7分）
即：S_{四邊形PMDN}=S_△APB
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了圖形的旋轉(zhuǎn)，正確理解全等的兩個(gè)圖形的面積相等．