Question

【題目】如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=4,D為線段AB上一個動點，以BD為邊在△ABC外作等邊三角形BDE。若F為DE的中點，則CF的最小值為 。

Answer 1

【答案】6
【解析】如下圖：過點D作DGBC于點G，過點F作FHBC于點H，設(shè)等邊EDB的邊長為x，

∵在RtDGB中，∠ABC=30°，∴DG=x，BG=x，
∵EDB是等邊三角形，∴∠EBD=60°，∴∠EBC=90°，
∵點F是DE的中點，且FHDGEB，
∴點F也是GB的中點，即FH是梯形DGBE的中位線，
∴FH=（x+x）=x.
在RtABC中，∠ABC=30°，AC=4，
∴AB=8，BC=.
又∵BH=BG=x，
∴CH=-x，
在RtFCH中，CF2=FH2+CH2=（x）2+（-x）2=x2-6x+48=（x-4）2+36，
∵點D為線段AB上一個動點，∴0<x<8，
∴當(dāng)x=4時，CF2=（x-4）2+36有最小值36，即CF的最小值為6.
故答案為：6.
設(shè)等邊EDB的邊長為x，過點D作DGBC于點G，過點F作FHBC于點H，在RtDGB中，用含x的代數(shù)式解出DG和BG；根據(jù)點F是DE的中點，且FHDGEB，判斷出FH是梯形DGBE的中位線，進(jìn)而求出FH的長；最后根據(jù)勾股定理表示出CF2的長，利用二次函數(shù)的最值求出CF2的最小值，進(jìn)而求得CF的最小值.