Question

已知：如圖，△ABC中，∠ACB＞∠ABC，記∠ACB-∠ABC=α，AD為△ABC的角平分線，M為DC上一點(diǎn)，ME與AD所在直線垂直，垂足為E．
（1）用α的代數(shù)式表示∠DME的值；
（2）若點(diǎn)M在射線BC上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)D重合），其它條件不變，∠DME的大小是否隨點(diǎn)M位置的變化而變化？請(qǐng)畫出圖形，給出你的結(jié)論，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）作直線EM交AB于點(diǎn)F，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，由角平分線的性質(zhì)得出∠1=∠2，根據(jù)ME⊥AD得出∠3=∠G，再由三角形外角的性質(zhì)即可得出結(jié)論；
（2）設(shè)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到M′，過點(diǎn)M′作M′E′⊥AD于點(diǎn)E′，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得出結(jié)論．

解答：解：（1）解法一：作直線EM交AB于點(diǎn)F，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．（見圖1）
∵AD平分∠BAC，
∴∠1=∠2．（1分）
∵M(jìn)E⊥AD，
∴∠AEF=∠AEG=90°
∴∠3=∠G．
∵∠3=∠B+∠DME，
∴∠ACB=∠G+∠GMC=∠G+∠DME，
∴∠B+∠DME=∠ACB-∠DME．
∴∠DME=

1

2

（∠ACB-∠B）=

α

2

；（2分）
解法二：如圖2（不添加輔助線），
∵AD平分∠BAC，
∴∠1=∠2．（1分）
∵M(jìn)E⊥AD，
∴∠DEM=90°，∠ADC+∠DME=90°．
∵∠ADB=∠2+∠C=90°+∠DME，
∴∠DME=∠2+∠C-90°．
∵∠ADC=∠1+∠B，
∴∠1=∠ADC-∠B．
∴∠DME=∠1+∠C-90°=（∠ADC-∠B）+∠C-90°
=∠C-∠B-（90°-∠ADC）=∠C-∠B-∠DME
∴∠DME=

1

2

（∠C-∠B）=

α

2

；（2分）

（2）如圖3和圖4，點(diǎn)M在射線BC上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)D重合）時(shí)，∠DME的大小不變．（點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B和點(diǎn)C時(shí)同理）
證法一：設(shè)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到M′，過點(diǎn)M′作M′E′⊥AD于點(diǎn)E′
∵M(jìn)′E′⊥AD，
∴ME∥M′E′．
∴∠DM′E′=∠DME=

α

2

．（4分）
證法二：圖3與圖4中分別與第（1）問同理可證．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是三角形內(nèi)角和定理及三角形外角的性質(zhì)，根據(jù)題意畫出圖形，利用數(shù)形結(jié)合求解是解答此題的關(guān)鍵．