Question

如圖所示，平面直角坐標系中，四邊形OABC內(nèi)接于半圓，其中OA為直徑，弦AB=OC=3cm，∠OAB=60°，P點從O點出發(fā)，以2cm/s的速度向A運動；同時，Q從A點出發(fā)，沿邊AB向B以1cm/s的速度運動．
（1）求運動x秒后Q點的坐標（用含x的式子表示）．
（2）是否存在x，使得PQ∥OB？若存在，則求出x的值；若不存在，說明理由．
（3）求BC的長．
（4）當P、Q運動時，寫出五邊形OPQBC的面積y與時間x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍（不包括點P在O、A兩點時的情況）．求出五邊形OPQBC的面積的最小值及此時x的值？

Answer 1

解：（1）如圖，連接OB，
∵OA為直徑，
∴∠OBA=90°，
又∵AB=3cm，∠OAB=60°，
∴OA=6，
作QE⊥OA于點E，
則AQ=x，QE=x，AE=x，
∴運動x秒后Q點的坐標為（6-，x）；

（2）要使PQ∥OB，只需，
即，
∴x=1.5秒，
答：存在x=1.5，使得PQ∥OB．

（3）先證明四邊形OABC為梯形，
∵OC=AB，
∴=，
∴∠CBO=∠BOA（等弧所對的圓周角相等），
∴BC∥OA，
又∵BC＜OA，
∴四邊形OABC為梯形．
又∵AB=OC，
∴四邊形OABC為等腰梯形．
作BF⊥OA于F，則AF=1.5，
∴BC=6-2×1.5=3（cm）；
（4）由（3）問可知，BF=cm，
∴y=S_OABC-S_△APQ，
=，
=（0＜x＜3），
∴y=，
∴當x=時，y有最小值cm²．
分析：（1）連接OB，由OA為直徑得∠OBA=90°，根據(jù)AB=3cm，∠OAB=60°得到OA=6，作QE⊥OA于點E分別表示出QE和AE，就可以表示出運動x秒后Q點的坐標；
（2）要使PQ∥OB，只需利用平行線分線段成比例定理得到，據(jù)此可以求得x的值；
（3）先證明四邊形OABC為梯形，利用等弧所對的圓周角相等得到∠CBA=∠BOA，進而得到BC∥OA，判定四邊形OABC為梯形．再根據(jù)AB=OC判定四邊形OABC為等腰梯形．
（4）利用y=S_OABC-S_△APQ表示出y與x之間的二次函數(shù)關(guān)系求最值即可．
點評：本題考查了圓周角定理平行線分線段成比例定理的知識，特別是題目中的動點問題更是中考的常見考點，難度較大．