Question

【題目】如圖1，已知拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D，連接BC

點(diǎn)G是直線BC上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)不與B、C重合，過(guò)點(diǎn)G作y軸的平行線交直線BC于點(diǎn)E，作于點(diǎn)F，點(diǎn)M、N是線段BC上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，連接DM、當(dāng)的周長(zhǎng)最大時(shí)，求的最小值；

如圖2，連接BD，點(diǎn)P是線段BD的中點(diǎn)，點(diǎn)Q是線段BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接DQ，將沿PQ翻折，且線段的中點(diǎn)恰好落在線段BQ上，將繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，點(diǎn)T為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)以點(diǎn)Q、、、T為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)T的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）最小值為；（2）點(diǎn)T的坐標(biāo)為或或

【解析】

先求出點(diǎn)B、C、D的坐標(biāo)，可求直線BC解析式且得到由軸和可得是等腰直角三角形，則GE最大時(shí)其周長(zhǎng)最大設(shè)點(diǎn)G坐標(biāo)為，則點(diǎn)，可列得GE與a的函數(shù)關(guān)系式，配方可求出其最大值，得到此時(shí)的G坐標(biāo)和EF的長(zhǎng)，即得到MN長(zhǎng)求最小值轉(zhuǎn)化為求最小值先作D關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)，再通過(guò)平移得，構(gòu)造“將軍飲馬”的基本圖形求解．

由翻折得DD′⊥PQ，PD=PD′，再由P為BD中點(diǎn)證得∠BD′D=90°，得PQ//BD′，又D′P中點(diǎn)H在BQ上，可證≌△D′BH，所以有D′Q//BP，即四邊形DQ D′P為菱形，得設(shè)Q點(diǎn)坐標(biāo)為即可列方程求得再根據(jù)題意把點(diǎn)A′、C′求出以點(diǎn)Q、、、T為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，要進(jìn)行分類討論，結(jié)合圖形，利用平行四邊形對(duì)邊平行的性質(zhì)，用平移坐標(biāo)的方法即可求得點(diǎn)T．

，

拋物線與x軸交于點(diǎn)、點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)，頂點(diǎn)，

直線CB解析式：，，

軸，，

，，

是等腰直角三角形，，

，

設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，其中，

，

時(shí)，GE有最大值為，

的周長(zhǎng)最大時(shí)，，，

，E點(diǎn)可看作點(diǎn)F向右平移個(gè)單位、向下平移個(gè)單位，

如圖1，作點(diǎn)D關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)，過(guò)N作且，

，即

，

當(dāng)、N、G在同一直線上時(shí)，為最小值，

，

最小值為；

連接DD′、D′B，設(shè)D′P與BQ交點(diǎn)為如圖，

沿PQ翻折得△D′PQ，

∴DD′⊥PQ，PD=PD′，DQ=D′Q，∠DQP=∠D′QP，

為BD中點(diǎn)，

∴PB=PD=PD′，，

∴△BDD′是直角三角形，∠BD′D=90°，

∴PQ//BD′，

∴∠PQH=∠D′BH，

為D′P中點(diǎn)，

∴PH=D′H，

在與△D′BH中

，

≌△D′BH （AAS），

∴PQ=BD′，

四邊形BPQD′是平行四邊形，

∴D′Q//BP，

∴∠DPQ=∠D′QP，

，

，

，

設(shè)，

，

解得：，舍去，

點(diǎn)Q坐標(biāo)為，

繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，

∴A′，C′，

∴A′、C′橫坐標(biāo)差為，縱坐標(biāo)差為，

A′、Q橫坐標(biāo)差為，縱坐標(biāo)差為，

當(dāng)有平行四邊形A′C′TQ時(shí)如圖，點(diǎn)T橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為；

當(dāng)有平行四邊形A′C′QT時(shí)如圖，點(diǎn)T橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為；

當(dāng)有平行四邊形A′TC′Q時(shí)如圖，點(diǎn)T橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為，

綜上所述，點(diǎn)T的坐標(biāo)為或或.