Question

如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象的頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-2），交x軸于A、B兩點(diǎn)，其中A（-1，0），直線l：x=m（m＞1）與x軸交于D．

（1）求二次函數(shù)的解析式和B的坐標(biāo)；

（2）在直線l上找點(diǎn)P（P在第一象限），使得以P、D、B為頂點(diǎn)的三角形與以B、C、O為頂點(diǎn)的三角形相似，求點(diǎn)P的坐標(biāo)（用含m的代數(shù)式表示）；

（3）在（2）成立的條件下，在拋物線上是否存在第一象限內(nèi)的點(diǎn)Q，使△BPQ是以P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

（1）y=2x2-2．（1，0）；（2）（m，），（m，2m-2）．（3）不存在滿足條件的點(diǎn)Q．

【解析】

試題分析：（1）由于拋物線的頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-2），所以拋物線的對(duì)稱軸為y軸，且與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為-2，即b=0，c=-2，再將A（-1，0）代入y=ax2+bx+c，求出a的值，由此確定該拋物線的解析式，然后令y=0，解一元二次方程求出x的值即可得到點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（m，n）．由于∠PDB=∠BOC=90°，則D與O對(duì)應(yīng)，所以當(dāng)以P、D、B為頂點(diǎn)的三角形與以B、C、O為頂點(diǎn)的三角形相似時(shí)，分兩種情況討論：①△OCB∽△DBP；②△OCB∽△DPB．根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例，得出n與m的關(guān)系式，進(jìn)而可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）假設(shè)在拋物線上存在第一象限內(nèi)的點(diǎn)Q（x，2x2-2），使△BPQ是以P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形．過點(diǎn)Q作QE⊥l于點(diǎn)E．利用AAS易證△DBP≌△EPQ，得出BD=PE，DP=EQ．再分兩種情況討論：①P（m，）；②P（m，2（m-1））．都根據(jù)BD=PE，DP=EQ列出方程組，求出x與m的值，再結(jié)合條件x＞0且m＞1即可判斷不存在第一象限內(nèi)的點(diǎn)Q，使△BPQ是以P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形．

試題解析：（1）∵拋物線y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)為C（0，-2），

∴b=0，c=-2；

∵y=ax2+bx+c過點(diǎn)A（-1，0），

∴0=a+0-2，a=2，

∴拋物線的解析式為y=2x2-2．

當(dāng)y=0時(shí)，2x2-2=0，

解得x=±1，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0）；

（2）設(shè)P（m，n）．

∵∠PDB=∠BOC=90°，

∴當(dāng)以P、D、B為頂點(diǎn)的三角形與以B、C、O為頂點(diǎn)的三角形相似時(shí)，分兩種情況：

①若△OCB∽△DBP，則，

即，

解得n=．

由對(duì)稱性可知，在x軸上方和下方均有一點(diǎn)滿足條件，

∴此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為（m，）或（m，）（舍）；

②若△OCB∽△DPB，則，

即

解得n=2m-2．

由對(duì)稱性可知，在x軸上方和下方均有一點(diǎn)滿足條件，

∴此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為（m，2m-2）或（m，2-2m），

∵P在第一象限，m＞1，

∴（m，2m-2）或（m，2-2m）舍

綜上所述，滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（m，），（m，2m-2）．

（3）假設(shè)在拋物線上存在第一象限內(nèi)的點(diǎn)Q（x，2x2-2），使△BPQ是以P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形．如圖，過點(diǎn)Q作QE⊥l于點(diǎn)E．

∵∠DBP+∠BPD=90°，∠QPE+∠BPD=90°，

∴∠DBP=∠QPE．

在△DBP與△EPQ中，

，

∴△DBP≌△EPQ，

∴BD=PE，DP=EQ．

分兩種情況：

①當(dāng)P（m，）時(shí)，

∵B（1，0），D（m，0），E（m，2x2-2），

∴，

解得，（均不合題意舍去）；

②當(dāng)P（m，2（m-1））時(shí)，

∵B（1，0），D（m，0），E（m，2x2-2），

∴，

解得，（均不合題意舍去）；

綜上所述，不存在滿足條件的點(diǎn)Q．

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．