Question

如圖所示，把一個面積為1的正方形等分成兩個面積為

1

2

的長方形，接著再把面積為

1

2

的長方形分成兩個面積為

1

4

的長方形，再把面積為

1

4

的長方形分成兩個面積為

1

8

的長方形，如此進行下去．
（1）第7次等分所得的一個長方形面積是多少？
（2）試利用圖形揭示的規(guī)律計算：

1

2

+

1

4

+

1

8

+

1

16

+

1

32

+

1

64

+…+

1

128

．

Answer 1

分析：（1）根據題意得到第1次等分所得的一個長方形面積=（

1

2

）¹，第2次等分所得的一個長方形面積=

1

4

=（

1

2

）²，第2次等分所得的一個長方形面積=

1

8

=（

1

2

）³，則
第n次等分所得的一個長方形面積=（

1

2

）ⁿ，然后把n=7代入計算即可；
（2）根據圖形揭示的規(guī)律，把一個面積為1的正方形分7次得到的面積為

1

2

+

1

4

+

1

8

+

1

16

+

1

32

+

1

64

+…+

1

128

+

1

128

，則

1

2

+

1

4

+

1

8

+

1

16

+

1

32

+

1

64

+…+

1

128

=1-

1

128

，然后通分計算即可．

解答：解：∵第1次等分所得的一個長方形面積=（

1

2

）¹，
第2次等分所得的一個長方形面積=

1

4

=（

1

2

）²，
第2次等分所得的一個長方形面積=

1

8

=（

1

2

）³，
∴第7次等分所得的一個長方形面積=（

1

2

）⁷=

1

128

；

（2）

1

2

+

1

4

+

1

8

+

1

16

+

1

32

+

1

64

+…+

1

128

=1-

1

128

=

127

128

．

點評：本題考查了規(guī)律型：數字的變化類：認真觀察、仔細思考，善用聯想是解決這類問題的方法．