(2010•莆田)如圖1,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,矩形OABC的邊OA在y軸的正半軸上,OC在x軸的正半軸上,OA=1,OC=2,點(diǎn)D在邊OC上且OD=
(1)求直線AC的解析式;
(2)在y軸上是否存在點(diǎn)P,直線PD與矩形對角線AC交于點(diǎn)M,使得△DMC為等腰三角形?若存在,直接寫出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
(3)拋物線y=-x2經(jīng)過怎樣平移,才能使得平移后的拋物線過點(diǎn)D和點(diǎn)E(點(diǎn)E在y軸的正半軸上),且△ODE沿DE折疊后點(diǎn)O落在邊AB上O′處.

【答案】分析:(1)設(shè)直線AC的解析式y(tǒng)=kx+b,將A、C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入即可求解;
(2)由題意得:若△DMC為等腰三角形,則可分為三種情況討論,即DC為底;DM為底;CM為底三種情況;
(3)可根據(jù)對稱性求得點(diǎn)O′的坐標(biāo),然后求得點(diǎn)E的坐標(biāo),由待定系數(shù)法求得新拋物線的解析式即可求得.
解答:解:(1)設(shè)直線AC的解析式y(tǒng)=kx+b,
又∵OA=1,OC=2,
∴A(0,1),C(2,0)代入函數(shù)解析式求得:k=,b=1
直線AC的函數(shù)解析式:y=

(2)若DC為底邊,
∴M的橫坐標(biāo)為,
則點(diǎn)M的坐標(biāo)為(
∴直線DM解析式為:y=x-,
∴P(0,-);
若DM為底,則CD=CM=,
∴AM=AN=-,
∴N(-,1),
可求得直線DM的解析式為y=(+2)x-+2),
∴P(0,
若CM為底,則CD=DM=
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(,
∴直線DM的解析式為y=-x+,
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,

(3)根據(jù)對稱性可得點(diǎn)O′的坐標(biāo)為(,1)或(2,1)
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0,)或(0,
∴設(shè)新拋物線的解析式為y=-(x-h)2+k
∴h=,k=或h=,k=
∴拋物線y=-x2經(jīng)過向左平移個(gè)單位,再向上平移個(gè)單位;或向右平移個(gè)單位,向上平移個(gè)單位.
點(diǎn)評:此題主要考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)與二次函數(shù)的解析式,解題時(shí)要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用,要注意答案的不唯一性,解題時(shí)要注意別漏解.
練習(xí)冊系列答案
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(1)求直線AC的解析式;
(2)在y軸上是否存在點(diǎn)P,直線PD與矩形對角線AC交于點(diǎn)M,使得△DMC為等腰三角形?若存在,直接寫出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
(3)拋物線y=-x2經(jīng)過怎樣平移,才能使得平移后的拋物線過點(diǎn)D和點(diǎn)E(點(diǎn)E在y軸的正半軸上),且△ODE沿DE折疊后點(diǎn)O落在邊AB上O′處.

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(1)求直線AC的解析式;
(2)在y軸上是否存在點(diǎn)P,直線PD與矩形對角線AC交于點(diǎn)M,使得△DMC為等腰三角形?若存在,直接寫出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
(3)拋物線y=-x2經(jīng)過怎樣平移,才能使得平移后的拋物線過點(diǎn)D和點(diǎn)E(點(diǎn)E在y軸的正半軸上),且△ODE沿DE折疊后點(diǎn)O落在邊AB上O′處.

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