Question

已知正方形ABCD和等腰Rt△BEF，BE=EF，∠BEF=90°，按圖①放置，使點(diǎn)F在BC上，取DF的中點(diǎn)G，連接EG、CG．
（1）探索EG、CG的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系并證明；
（2）將圖①中△BEF繞B點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，再連接DF，取DF中點(diǎn)G（如圖②），問(wèn)（1）中的結(jié)論是否仍然成立．證明你的結(jié)論；
（3）將圖①中△BEF繞B點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)任意角度（旋轉(zhuǎn)角在0°到90°之間），再連接DF，取DF的中點(diǎn)G（如圖③），問(wèn)（1）中的結(jié)論是否仍然成立，證明你的結(jié)論．

Answer 1

解：（1）EG=CG且EG⊥CG．
證明如下：如圖①，連接BD．
∵正方形ABCD和等腰Rt△BEF，
∴∠EBF=∠DBC=45°．
∴B、E、D三點(diǎn)共線．
∵∠DEF=90°，G為DF的中點(diǎn)，∠DCB=90°，
∴EG=DG=GF=CG．
∴∠EGF=2∠EDG，∠CGF=2∠CDG．
∴∠EGF+∠CGF=2∠EDC=90°，
即∠EGC=90°，
∴EG⊥CG．

（2）仍然成立，
證明如下：如圖②，延長(zhǎng)EG交CD于點(diǎn)H．
∵BE⊥EF，∴EF∥CD，∴∠1=∠2．
又∵∠3=∠4，F(xiàn)G=DG，
∴△FEG≌△DHG，
∴EF=DH，EG=GH．
∵△BEF為等腰直角三角形，
∴BE=EF，∴BE=DH．
∵CD=BC，∴CE=CH．
∴△ECH為等腰直角三角形．
又∵EG=GH，
∴EG=CG且EG⊥CG．

（3）仍然成立．
證明如下：如圖③，延長(zhǎng)CG至H，使GH=CG，連接HF交BC于M，連接EH、EC．
∵GF=GD，∠HGF=∠CGD，HG=CG，
∴△HFG≌△CDG，
∴HF=CD，∠GHF=∠GCD，
∴HF∥CD．
∵正方形ABCD，
∴HF=BC，HF⊥BC．
∵△BEF是等腰直角三角形，
∴BE=EF，∠EBC=∠HFE，
∴△BEC≌△FEH，
∴HE=EC，∠BEC=∠FEH，
∴∠BEF=∠HEC=90°，
∴△ECH為等腰直角三角形．
又∵CG=GH，
∴EG=CG且EG⊥CG．

分析：（1）首先證明B、E、D三點(diǎn)共線，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，即可證明EG=DG=GF=CG，得到∠EGF=2∠EDG，∠CGF=2∠CDG，從而證得∠EGC=90°；
（2）首先證明△FEG≌△DHG，然后證明△ECH為等腰直角三角形．可以證得：EG=CG且EG⊥CG．
（3）首先證明：△BEC≌△FEH，即可證得：△ECH為等腰直角三角形，從而得到：EG=CG且EG⊥CG．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證得三角形全等是解題的關(guān)鍵，解題過(guò)程中要注意前后之間的聯(lián)系，在變化過(guò)程中找到不變的關(guān)系．