Question

【題目】如圖1，拋物線y=ax2+bx+4的圖象過(guò)A（﹣1，0），B（4，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，作直線BC，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒 個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿CB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．

（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）如圖2，當(dāng)t=1時(shí)，求S△ACP的面積；
（3）如圖3，過(guò)點(diǎn)P向x軸作垂線分別交x軸，拋物線于E、F兩點(diǎn)．
①求PF的長(zhǎng)度關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式，并求出PF的長(zhǎng)度的最大值；
②連接CF，將△PCF沿CF折疊得到△P′CF，當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形PFP′C是菱形？

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線y=ax2+bx+4的圖象過(guò)A（﹣1，0），B（4，0）兩點(diǎn)，

∴ ，解得： ．

∴拋物線的表達(dá)式為y=﹣x2+3x+4．

（2）

解：令x=0，則y=4，

即點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，4），

∴BC= =4 ．

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+4，

∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，0），

∴0=4k+4，解得k=﹣1，

∴直線BC的解析式為y=﹣x+4．

當(dāng)t=1時(shí)，CP= ，

點(diǎn)A（﹣1，0）到直線BC的距離h= = = ，

S△ACP= CPh= × × = ．

（3）

解：①∵直線BC的解析式為y=﹣x+4，

∴CP= t，OE=t，設(shè)P（t，﹣t+4），F(xiàn)（t，﹣t2+3t+4），（0≤t≤4）

PF=﹣t2+3t+4﹣（﹣t+4）=﹣t2+4t，（0≤t≤4）．

當(dāng)t=﹣ =2時(shí)，PF取最大值，最大值為4．

②∵△PCF沿CF折疊得到△P′CF，

∴PC=P′C，PF=P′F，

當(dāng)四邊形PFP′C是菱形時(shí)，只需PC=PF．

∴ t=﹣t2+4t，

解得：t1=0（舍去），t2=4﹣ ．

故當(dāng)t=4﹣ 時(shí)，四邊形PFP′C是菱形．

【解析】（1）將A、B點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式中，即可得到關(guān)于a、b的二元一次方程，解方程即可得出結(jié)論；（2）令x=0可得出C點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出直線BC解析式y(tǒng)=kx+4，代入B點(diǎn)坐標(biāo)可求出k值，利用面積法求出點(diǎn)A到直線BC的距離結(jié)合三角形的面積，即可得出結(jié)論；（3）①由直線BC的解析式為y=﹣x+4可得知OE= CP，設(shè)出P、F點(diǎn)的坐標(biāo)，由F點(diǎn)的縱坐標(biāo)﹣P點(diǎn)的縱坐標(biāo)即可得出PF的長(zhǎng)度關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出最值問(wèn)題；②由翻轉(zhuǎn)特性可知PC=P′C，PF=P′F，若四邊形PFP′C是菱形，則有PC=PF，由此得出關(guān)于t的二元一次方程，解方程即可得出結(jié)論．