Question

如圖，拋物線y=ax2+x+c與x軸交于點A（4，0）、B（﹣1，0），與y軸交于點C，連接AC，點M是線段OA上的一個動點（不與點O、A重合），過點M作MN∥AC，交OC于點N，將△OMN沿直線MN折疊，點O的對應點O′落在第一象限內(nèi)，設OM=t，△O′MN與梯形AMNC重合部分面積為S．

（1）求拋物線的解析式；

（2）①當點O′落在AC上時，請直接寫出此時t的值；

②求S與t的函數(shù)關系式；

（3）在點M運動的過程中，請直接寫出以O、B、C、O′為頂點的四邊形分別是等腰梯形和平行四邊形時所對應的t值．

Answer 1

解：（1）∵拋物線y=ax2+x+c與x軸交于點A（4，0）、B（﹣1，0），

∴，

解得，

∴拋物線的解析式：y=﹣x2+x+2；

（2）①如圖1，∵MN∥AC，

∴∠OMN=∠O′AM，∠O′MN=AO′M

∵∠OMN=∠O′MN，

∴∠AO′M=∠O′AM，

∴O′M=AM，

∵OM=O′M，

∴OM=AM=t，

∴t===2；

②由拋物線的解析式：y=﹣x2+x+2可知C（0，2）

∵A（4，0）、C（0，2），

∴OA=4，OC=2，

∵MN∥AC，

∴ON：OM=OC：OA=2：4=1：2，

∴ON=OM=t，

∴S===t2．

（3）如圖2，∵B（﹣1，0），C（0，2），

∴直線BC的斜率為2，

∵OO′∥BC，

∴直線OO′的解析式為y=2x，

設O′（m，2m），

∵O′N=ON=t，

∴O′N2=m2+（2m﹣t）2=（）2，

∴t=m，

∴O′C2=m2+（2﹣2m）2，

∵OB=O′C，

∴m2+（2﹣2m）2=（﹣1）2，

解得m1=1，m2=，

∴O′（1，2）或（，），

∵C（0，2），

∴當O′（1，2）時，以O、B、C、O′為頂點的四邊形是平行四邊形，此時t=，

當O′（，）時，以O、B、C、O′為頂點的四邊形是梯形，此時t=．