Question

【題目】如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，BC＝5，CD＝6，∠DCB＝60°，等邊△PMN（N為固定點(diǎn)）的邊長(zhǎng)為x，邊MN在直線BC上，NC＝8．將直角梯形ABCD繞點(diǎn)C按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到①的位置，再繞點(diǎn)D1按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到②的位置，如此旋轉(zhuǎn)下去．

（1）將直角梯形按此方法旋轉(zhuǎn)四次，如果等邊△PMN的邊長(zhǎng)為x≥5+3，求梯形與等邊三角形的重疊部分的面積；

（2）將直角梯形按此方法旋轉(zhuǎn)三次，如果梯形與等邊三角形的重疊部分的面積是，求等邊△PMN的邊長(zhǎng)x的范圍．

（3）將直角梯形按此方法旋轉(zhuǎn)三次，如果梯形與等邊三角形的重疊部分的面積是梯形面積的一半，求等邊△PMN的邊長(zhǎng)x．

Answer 1

【答案】（1）S重疊部分＝；（2）等邊△PMN的邊長(zhǎng)x的范圍為：x≥；（3）等邊三角形的邊長(zhǎng)為：﹣2．

【解析】

（1）解本題要先判斷出轉(zhuǎn)2次后A點(diǎn)與N點(diǎn)的距離，根據(jù)題意，轉(zhuǎn)2次的路程應(yīng)該是CD+AD，如果過(guò)D作DF⊥BC，那么AD=BF=BC-CF，在直角三角形DCF中，CF=3，DF=3，因此AD=2那么轉(zhuǎn)動(dòng)兩次后的路程是6+2=8，因此轉(zhuǎn)動(dòng)兩次后A，N兩點(diǎn)是重合的，那么再看第三次和第四次轉(zhuǎn)動(dòng)的長(zhǎng)度，即AB+BC的長(zhǎng)，為5+3，那么根據(jù)題意可知，梯形完全在等邊三角形內(nèi)，因此重合部分的面積其實(shí)就是梯形的面積．根據(jù)梯形的面積計(jì)算方法和已知的數(shù)據(jù)即可求出梯形的面積．
（2）本題的關(guān)鍵是要判斷出旋轉(zhuǎn)3次后哪些是重合部分，如果設(shè)旋轉(zhuǎn)3次后PN與DC交于N，那么先要求出四邊形CBNK的面積是多少，如果四邊形的面積大于，則說(shuō)明四邊形CBNK只有部分在等邊三角形內(nèi)，如果四邊形的面積等于，就說(shuō)明四邊形CBNK全部在等邊三角形內(nèi)，這點(diǎn)對(duì)判斷等邊三角形的邊長(zhǎng)的取值范圍至關(guān)重要．那么先求四邊形CBNK的面積．由于四邊形的面積=梯形的面積-三角形NKD的面積，那么關(guān)鍵是求出三角形NDK的面積，已知了三角形的底邊ND的長(zhǎng)，可過(guò)K作ND邊上的高KH，那么直角三角形NKH中，∠KNH=30°，∠NDK=120°，由此可得出∠HKD=∠HDK=30°，KD=AD=2，那么可求出DH，KH的長(zhǎng)，也就求出了三角形NDK的面積，進(jìn)而可得出四邊形CBNK的面積為，由此可得出四邊形CBNK全部在等邊三角形內(nèi)，那么可通過(guò)計(jì)算此時(shí)等邊三角形的邊長(zhǎng)最小的情況來(lái)得出等邊三角形的邊長(zhǎng)的取值范圍，過(guò)C作PM的平行線EG，然后在上下兩個(gè)直角三角形中分別求出CE和CG，那么EG就是等邊三角形邊長(zhǎng)的最小值，由此可得出等邊三角形的邊長(zhǎng)的取值范圍．
（3）本題要先判斷等邊三角形邊長(zhǎng)的大致范圍，因?yàn)檫@影響到重合部分的面積的計(jì)算方法，可過(guò)B作PM的平行線BK，過(guò)E作PM的平行線EG交CD于H，那么要先判斷四邊形BHEN的面積是否是梯形面積的一半，也就是求三角形BHC和NDE的面積和是否為梯形面積的一半，我們可求的兩三角形的面積和小于梯形的面積的一半，那么等邊三角形的PM邊必在BK與GE中間，那么我們?cè)O(shè)這邊為RK還是交CD于H，那么可先求出三角形GEN的面積，然后可根據(jù)GEN與RNH相似，用相似比表示出三角形RNH的面積，然后再求出三角形HKE的面積，這樣四邊形RHEN的面積=三角形RNH的面積-三角形HKE的面積=梯形的面積的一半，由此可得出關(guān)于x的方程，求出x的值即可．

解：（1）過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BC，垂足為F，

∵CD＝6，∠DCB＝60°，

∴∠CDF＝30°，

∴CF＝＝3，DF＝3，

∴BF＝BC﹣CF＝2，

又∵梯形ABCD為直角梯形，

∴∠A＝∠B＝90°而∠DFB＝90°，

∴四邊形ABFD為矩形，

∴AD＝BF＝2，

∴A2D1+D1C＝2+6＝8，

又∵NC＝8，

∴點(diǎn)N與A2重合，

∵C4N＝B3C4+B3N＝5+3，

又∵MN＞5+3，

∴直角梯形與等邊三角形的重疊部分即為整個(gè)直角梯形，

∴S重疊部分＝．

（2）過(guò)點(diǎn)C3作GE∥MP交MN于點(diǎn)G，交NP于占E，

則△GNE為等邊三角形，

過(guò)點(diǎn)K作KH⊥B2N，垂足為H，

在Rt△NKH中∠KNH＝30°，∠ND3K＝120°，

∴∠KNH＝∠NKD3，

∴ND3＝D3K＝2，

∴D3H＝1，KH＝，

∴S△D3KH＝，

而S梯形＝，

∴S梯形﹣S△ND3K＝﹣＝＝重疊部分面積，

在Rt△GC3B3中，∠GC3B3＝30°，C3B3＝5，

∴GC3＝，

C3K＝C3D3﹣D3K＝6﹣2＝4，

C3E＝C3Ktan30°＝4×，

∴GE＝GC3+C3E＝，

∴等邊△PMN的邊長(zhǎng)x的范圍為：x≥，

（3）如圖：GE∥B3K∥PM，

Rt△B3C3H中，B3C3＝5，∠C3＝30°，

∴Rt△B3C3H的面積為：，

∴Rt△B3C3H的面積+△D3NE的面積＝（梯形面積的一半），

等邊三角形的一邊RK應(yīng)落在GE與B3K之間，如圖所示，

等邊△GNE的邊長(zhǎng)為2，面積為3，

∵GE∥RK，

∴△GNE∽△RNK，

∴S△GNE：S△RNK＝（NE：NK）2，

設(shè)KE＝x，則S△GNE：S△RNK＝（）2，

而四邊形RNEH的面積為梯形的面積的一半，即，

在△HEK中，KE＝x，∠KEH＝30°，

∴S△KEH＝，

∴S△NRK＝，

∴，

∴x＝，

∴x＝（負(fù)值舍去），

RN＝NE+EK＝，

即此時(shí)等邊三角形的邊長(zhǎng)為：．