Question

如圖，以矩形OABC的兩邊OA和OC所在直線為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系，A點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，0），C點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，4）。將矩形OABC繞O點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使B點(diǎn)落在y軸的正半軸上，旋轉(zhuǎn)后的矩形為OA₁B₁C₁，BC，A₁B₁相交于點(diǎn)M。
（1）求點(diǎn)B₁的坐標(biāo)與線段B₁C的長；
（2）將圖a中的矩形OA₁B₁C₁沿y軸向上平移，如圖b，矩形PA₂B₂C₂是平移過程中的某一位置，BC、A₂B₂相交 于點(diǎn)M₁，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)停止。設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的距離x，矩形PA₂B₂C₂與原矩形OABC重疊部分的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；
（3）如圖c，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，平移后的矩形為PA₃B₃C₃，請你思考如何通過圖形變換使矩形PA₃B₃C₃與原矩形OABC重合，請簡述你的做法。

Answer 1

（1）OA₁=OA=3， A₁B₁=AB=OC=4
  ∴OB₁=5 ∴B（0，5） B₁C=5-4=1
（2）① S_重疊=S_陰=S_△PA2B2-S_△M1B2C
  ∵OP=x ，PB₂=5 ∴OB₂=5+x
   又∵OC=4 ∴B₂C=x+1
   △A₂B₂P∽△CB₂M₁
  ∴ ∴
   ∴S_△CB2M1= (x+1)² ∴y=
  當(dāng)M₁與A₂重合時(shí), M₁B₂²=B₂C·BP
   ∴4²= B₂C·5 ∴B₂C=
   ∴x= ∴0≤x≤
②PC=4-x      △PCM₁∽△PA₂B₂
  ∴ ∴
  ∴S_△PCM1=    ∴y=  (＜x＜4)
  ∴綜上所述y=  
（3）將矩形PA₃B₃C₃繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)∠B₃PA₃的度數(shù)，使PA₃ 與PB重合（或PC₃與y軸重合），再把所得圖形向下平行4個(gè)單位長度，即與矩形OABC重合，使PA₃與OA重合。（答案不唯一）