Question

【題目】如圖，已知△ABC中，∠B=90°，AB=8cm，BC=6cm，P、Q是△ABC邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，其中P點(diǎn)從點(diǎn)A開始沿AB方向運(yùn)動(dòng)且速度為每秒lcm，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿B→C→A方向運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒2cm，它們同時(shí)出發(fā)，設(shè)出發(fā)的時(shí)間為t秒.

(1)出發(fā)2秒后，求線段PQ的長(zhǎng)?

(2)當(dāng)點(diǎn)Q在邊BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，出發(fā)兒秒鐘后，OPQB是等腰三角形?

(3)當(dāng)點(diǎn)Q在邊CA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求能使△BCQ成為等腰三角形的運(yùn)動(dòng)時(shí)間?

Answer 1

【答案】(1)出發(fā)2秒后，線段PQ的長(zhǎng)為；(2)當(dāng)點(diǎn)Q在邊BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，出發(fā)秒后，△PQB是等腰三角形； (3)當(dāng)t為5.5秒或6秒或6.6秒時(shí)，△BCQ為等腰三角形.

【解析】

（1）根據(jù)點(diǎn)P、Q的運(yùn)動(dòng)速度求出AP，再求出BP和BQ，用勾股定理求得PQ即可；

（2）設(shè)出發(fā)t秒鐘后，△PQB能形成等腰三角形，則BP=BQ，由BQ=2t，BP=8-t，列式求得t即可；

（3）當(dāng)點(diǎn)Q在邊CA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，能使△BCQ成為等腰三角形的運(yùn)動(dòng)時(shí)間有三種情況：①當(dāng)CQ=BQ時(shí)（圖1），則∠C=∠CBQ，可證明∠A=∠ABQ，則BQ=AQ，則CQ=AQ，從而求得t；

②當(dāng)CQ=BC時(shí)（如圖2），則BC+CQ=12，易求得t；

③當(dāng)BC=BQ時(shí)（如圖3），過B點(diǎn)作BE⊥AC于點(diǎn)E，則求出BE，CE，即可得出t．

(1)BQ=2×2=4cm，BP=ABAP=82×1=6cm，

∵∠B=90°，

由勾股定理得：PQ=,

∴出發(fā)2秒后，線段PQ的長(zhǎng)為；

(2)BQ=2t，BP=8-t ，

由題意得：2t=8-t ，

解得：t=，

∴當(dāng)點(diǎn)Q在邊BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，出發(fā)秒后，△PQB是等腰三角形；

(3) ∵∠ABC=90°，BC=6，AB=8，

∴AC==10.

①當(dāng)CQ=BQ時(shí)(圖1)，則∠C=∠CBQ，

∵∠ABC=90°，

∴∠CBQ+∠ABQ=90°，∠A+∠C=90°，

∴∠A=∠ABQ，

∴BQ=AQ，

∴CQ=AQ=5，

∴BC+CQ=11，

∴t=11÷2=5.5秒；

②當(dāng)CQ=BC時(shí)(如圖2)，

則BC+CQ=12，

∴t=12÷2=6秒，

③當(dāng)BC=BQ時(shí)(如圖3)，過B點(diǎn)作BE⊥AC于點(diǎn)E，

∴BE=，

所以CE===3.6，

故CQ=2CE=7.2，

所以BC+CQ=13.2，

∴t=13.2÷2=6.6秒.

由上可知，當(dāng)t為5.5秒或6秒或6.6秒時(shí)，△BCQ為等腰三角形.