Question

如圖，在⊙O中，OA、OB是半徑，且OA⊥OB，OA=6，點C是AB上異于A、B的動點．過點C作CD⊥OA于點D，作CE⊥OB于點E，連接DE，點G、H在線段DE上，且DG=GH=HE．
（1）求證：四邊形OGCH為平行四邊形；
（2）①當點C在AB上運動時，在CD、CG、DG中，是否存在長度不變的線段？若存在，請求出該線段的長度；若不存在，請說明理由；
②求CD²+CH²之值．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先證明四邊形OECD是矩形，得出OG=CH，同理可證OH=CG，得出四邊形OGCH為平行四邊形；
（2）①根據(jù)點C是AB上的點，OA=6，得出OC=OA=6，由DG=GH=HE，得出DG=ED=2；
②首先得出△DHF∽△DEC，進而得出，利用，從而得出CF=CD-FD=CD，再利用勾股定理得出CD²+CH²的值．
解答：（1）證明：如圖，
∵CD⊥OA，CE⊥OB，
∴∠ODC=∠OEC=90°
又∵∠AOB=90°，
∴四邊形OECD是矩形．
∴OD=EC，且OD∥EC，
∴∠ODG=∠CEH
∵DG=EH，
∴△ODG≌△CEH，
∴OG=CH．
同理可證OH=CG
∴四邊形OGCH為平行四邊形；

（2）解：①線段DG的長度不變．
∵點C是AB上的點，OA=6．
∴OC=OA=6
∵四邊形OECD是矩形，
∴ED=OC=6，
∵DG=GH=HE，
∴DG=ED=2；

②如圖，過點H作HF⊥CD于點F，
∵EC⊥CD，
∴HF∥EC，
∴△DHF∽△DEC，
∴，
∴，
從而CF=CD-FD=CD
在Rt△CHF中，CH²=HF²+CF²=HF²+CD²
在Rt△HFD中，HF²=DH²-DF²=CD²，
∴CH²=CD²+CD²=16-CD²
∴．
點評：此題主要考查了圓的綜合應用以及相似三角形的性質(zhì)和勾股定理等知識，根據(jù)已知得出CH²=CD²+CD²=16-CD²是解題關鍵．