Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y＝﹣x2+6x﹣5的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，其頂點為P，連接PA、AC、CP，過點C作y軸的垂線l．

（1）P的坐標　 　，C的坐標　 　；

（2）直線1上是否存在點Q，使△PBQ的面積等于△PAC面積的2倍？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（3，4），（0，﹣5）；（2）存在，點Q的坐標為：（，﹣5）或（，﹣5）

【解析】

（1）利用配方法求出頂點坐標，令x=0，可得y=-5，推出C（0，-5）；
（2）直線PC的解析式為y=3x-5，設直線交x軸于D，則D（，0），設直線PQ交x軸于E，當BE=2AD時，△PBQ的面積等于△PAC的面積的2倍，分兩種情形分別求解即可解決問題．

解：（1）∵y＝﹣x2+6x﹣5＝﹣（x﹣3）2+4，

∴頂點P（3，4），

令x＝0得到y＝﹣5，

∴C（0，﹣5）．

故答案為：（3，4），（0，﹣5）；

（2）令y＝0，x2﹣6x+5＝0，

解得：x＝1或x＝5，

∴A（1，0），B（5，0），

設直線PC的解析式為y＝kx+b，則有，

解得：，

∴直線PC的解析式為：y＝3x﹣5，

設直線交x軸于D，則D（，0），

設直線PQ交x軸于E，當BE＝2AD時，△PBQ的面積等于△PAC的面積的2倍，

∵AD＝，

∴BE＝，

∴E（，0）或E′（，0），

則直線PE的解析式為：y＝﹣6x+22，

∴Q（，﹣5），

直線PE′的解析式為y＝﹣x+，

∴Q′（，﹣5），

綜上所述，滿足條件的點Q的坐標為：（，﹣5）或（，﹣5）；