Question

在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，P是BC上的任意一點（P與B、C不重合），過點P作AP⊥PE，垂足為P，PE交CD于點E．
（1）連接AE，當△APE與△ADE全等時，求BP的長；
（2）若設BP為x，CE為y，試確定y與x的函數關系式．當x取何值時，y的值最大？最大值是多少？
（3）若PE∥BD，試求出此時BP的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據全等三角形的對應邊相等知AP=AD=3；然后在Rt△ABP中利用勾股定理可以求得BP的長度；
（2）根據相似三角形Rt△ABP∽Rt△PCE的對應邊成比例列出關于x、y的方程，通過二次函數的最值的求法來求y的最大值；
（3）如圖，連接BD．利用（2）中的函數關系式設BP=x，則CE=，然后根據相似三角形△CPE∽△CBD的對應邊成比例列出關于x的一元二次方程，通過解該方程即可求得此時BP的長度．
解答：解：（1）∵△APE≌△ADE（已知），AD=3（已知），
∴AP=AD=3（全等三角形的對應邊相等）；
在Rt△ABP中，BP===（勾股定理）；

（2）∵AP⊥PE（已知），
∴∠APB+∠CPE=∠CPE+∠PEC=90°，
∴∠APB=∠PEC，
又∵∠B=∠C=90°，
∴Rt△ABP∽Rt△PCE，
∴即（相似三角形的對應邊成比例），
∴=
∴當x=時，y有最大值，最大值是；

（3）如圖，連接BD．設BP=x，
∵PE∥BD，
∴△CPE∽△CBD，
∴（相似三角形的對應邊成比例），
即
化簡得，3x²-13x+12=0
解得，x₁=，x₂=3（不合題意，舍去），
∴當BP=時，PE∥BD．
點評：本題綜合考查了矩形的性質、勾股定理、二次函數的最值等知識點．本題中求二次函數的最值時，采用了配方法．