Question

已知二次函數(shù)y=ax²-5ax+b（a≠0）與x軸有兩個交點A（x₁，0）、B（x₂，0），與y軸交于點C，其中0＜x₁＜x₂，線段AB的長為3，O為坐標(biāo)系原點，且有tan∠OAC=2，tan∠OBC=，求此二次函數(shù)解析式．

Answer 1

解：當(dāng)x=0時，y=b．
∴C點坐標(biāo)為（0，b），OC=|b|．
又∵A（x₁，0）B（x₂，0）0＜x₁＜x₂．
∴OA=x₁，OB=x₂；
tan∠OAC===2，∴x₁=；
tan∠OBC===，∴x₂=2|b|．
∴x₂-x₁=2|b|-==AB=3，
∴|b|=2，b=±2．
∵拋物線y=ax²-5ax+b（a≠0）與x軸交于A（x₁，0）、B（x₂，0），且0＜x₁＜x₂；
∴x₁+x₂=5，x₁•x₂=，
∴（x₂-x₁）²=（x₂+x₁）²-4x₁x₂=25-=9，
∴a=，
∴當(dāng)b=2時，a=，當(dāng)b=-2時，a=-，
∴所求的拋物線的解析式為y=x²-x+2或y=-x²+ax-2，經(jīng)檢驗知上述兩條拋物線均符合題意．
分析：根據(jù)∠OAC和∠OBC的正切值，可用|b|表示出OB，OA的長，即x₂，x₁的值，根據(jù)AB=3，可求出|b|的值．
令y=0，可得出一個關(guān)于x的一元二次方程，根據(jù)韋達(dá)定理和AB=3即可求出a的值．由此可得出二次函數(shù)的解析式．
點評：本題主要考查了二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系以及一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系．