Question

（本小題滿分12分）如圖1，已知拋物線經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)和軸上另一點(diǎn)，頂點(diǎn)的坐標(biāo)為；矩形的頂點(diǎn)與點(diǎn)重合，分別在軸、軸上，且，．
（1）求該拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；
（2）將矩形以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從圖1所示的位置沿軸的正方向勻速平行移動(dòng)，同時(shí)一動(dòng)點(diǎn)也以相同的速度從點(diǎn)出發(fā)向勻速移動(dòng)．設(shè)它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒（），直線與該拋物線的交點(diǎn)為（如圖2所示）．
①當(dāng)時(shí)，判斷點(diǎn)是否在直線上，并說(shuō)明理由；
②設(shè)以為頂點(diǎn)的多邊形面積為，試問(wèn)是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）因所求拋物線的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，4），
故可設(shè)其關(guān)系式為．
又拋物線經(jīng)過(guò)，于是得，
解得．
∴所求函數(shù)關(guān)系式為，即．
（2）①點(diǎn)不在直線上．
根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可知點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，0），
又的坐標(biāo)為（2，4），設(shè)直線的關(guān)系式為．
于是得，解得．
所以直線的關(guān)系式為．
由已知條件易得，當(dāng)時(shí)，，∴．
∵點(diǎn)的坐標(biāo)不滿足直線的關(guān)系式，
∴當(dāng)時(shí)，點(diǎn)不在直線上．
②存在最大值．理由如下：
∵點(diǎn)在軸的非負(fù)半軸上，且在拋物線上，
∴，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、，
∴（），
∴，
∴．
（i）當(dāng)，即或時(shí)，以點(diǎn)為頂點(diǎn)的多邊形是三角形，此三角形的高為，∴．
（ii）當(dāng)時(shí)，以點(diǎn)為頂點(diǎn)的多邊形是四邊形，
∵，
∴，
其中（），由，，此時(shí)．
綜上所述，當(dāng)時(shí)，以點(diǎn)為頂點(diǎn)的多邊形面積有最大值，這個(gè)最大值為．
說(shuō)明：（ii）中的關(guān)系式，當(dāng)和時(shí)也適合．

解析