Question

從1，2，…，2010這2010個(gè)正整數(shù)中，最多可以取出多少個(gè)數(shù)，使得所取出的數(shù)中任意三個(gè)數(shù)之和都能被33整除？

Answer 1

首先，如下61個(gè)數(shù)：11，11+33，11+2×33，11+60×33（即1991）滿(mǎn)足題設(shè)條件，
另一方面，設(shè)a₁＜a₂＜a_n是從1，2，2010中取出的滿(mǎn)足題設(shè)條件的數(shù)，
對(duì)于這n個(gè)數(shù)中的任意4個(gè)數(shù)a_i，a_j，a_k，a_m，因?yàn)?3|（a_i+a_k+a_m），33|（a_j+a_k+a_m），
所以33|（a_j-a_i），
∴所取的數(shù)中任意兩數(shù)之差都是33的倍數(shù)，
設(shè)a_i=a₁+33d_i，i=1，2，3，n，
由33|（a₁+a₂+a₃），得33|（3a₁+33d₂+33d₃），
所以33|3a₁，11|a₁，即a₁≥11，dn=

an-a1

33

≤

2010-11

33

＜61，
故d_n≤60，所以n≤61，
綜上所述，n的最大值為61．