Question

一開口向上的拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)，C（m，-2）為拋物線頂點(diǎn)，且AC⊥BC．
（1）若m是常數(shù)，求拋物線的解析式；
（2）設(shè)拋物線交y軸正半軸于D點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸交x軸于E點(diǎn)．問是否存在實(shí)數(shù)m，使得△EOD為等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x-m）²-2，由AC⊥BC，由拋物線的對(duì)稱性可知：△ACB為等腰直角三角形，可解得B點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出a的值．（2）設(shè)存在實(shí)數(shù)m，使得△EOD為等腰三角形，由（1）知D點(diǎn)坐標(biāo)，
若△EOD為等腰三角形，只能OD=OE，分類點(diǎn)E在x軸位置情況，求出m的值．

解答：解：（1）設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x-m）²-2，
∵AC⊥BC，
∵由拋物線的對(duì)稱性可知：△ACB為等腰直角三角形，
又∵AB=4，
∴B（m+2，0）
代入y=a（x-m）²-2，得a=

1

2

．
∴解析式為：y=

1

2

x2-mx+

1

2

m2-2．
（2）由（1）得D（0，

1

2

m²-2），
設(shè)存在實(shí)數(shù)m，使得△EOD為等腰三角形．
∵△EOD為等腰三角形，
∴只能OD=OE．
①當(dāng)點(diǎn)E在x軸正半軸，
∵m＞0時(shí)，∴

1

2

m²-2=m．
解得m=1+

5

或m=1-

5

（舍）．
②當(dāng)點(diǎn)E在x軸負(fù)半軸，∵m＜0時(shí)，∴

1

2

m²-2=-m．
解得m=-1-

5

或m=-1+

5

（舍）；
③當(dāng)點(diǎn)E在原點(diǎn)，即m=0時(shí)，B、O、D三點(diǎn)共線（不合題意，舍）
綜上所述：存在實(shí)數(shù)m=1+

5

或m=-1-

5

，使得△EOD為等腰三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題二次函數(shù)的綜合題，涉及到知識(shí)點(diǎn)求解拋物線的解析式，分類討論思想，此題不是很難，但要仔細(xì)．