Question

已知關(guān)于x的方程x²-2（m-1）x+m²-3=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
（1）求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）已知a、b、c分別是△ABC的內(nèi)角∠A、∠B、∠C的對(duì)邊，∠C=90°，且tanB=，c-b=4，若方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和等于△ABC的斜邊c的平方，求m的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則△＜0，從而得到關(guān)于m的不等式，然后就可以得出m的取值范圍；
（2）由于tanB=，c-b=4，利用勾股定理可求出c的值，然后根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和，根據(jù)題意得到關(guān)于m的方程，從而可以求出m的值并驗(yàn)根．
解答：解：（1）△=4（m-1）²-4（m²-3）=-8m+16，
∵方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴△＞0，
即-8m+16＞0，
解得m＜2，
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是m＜2；

（2）在△ABC中，∠C=90°，tanB=，
∴，
設(shè)b=3k，a=4k，
則=5k，
又∵c-b=4，
∴5k-3k=2k=4，
解得k=2，
∴c=10．
不妨設(shè)原方程的兩根為x₁，x₂，
由根與系數(shù)的關(guān)系得x₁+x₂=2（m-1），
x₁x₂=m²-3，
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=4（m-1）²-2（m²-3）
=2m²-8m+10，
由已知有：x₁²+x₂²=10²，
∴2m²-8m+10=10²=100，
解這個(gè)方程得m₁=-5，m₂=9，
又∵方程有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根，
必須滿足m＜2，
∴m=-5．
點(diǎn)評(píng)：此題著重考查了根的判別式，根與系數(shù)的關(guān)系．在利用根與系數(shù)的關(guān)系解題時(shí)，要特別注意一定要利用根的判別式進(jìn)行檢驗(yàn)．