如圖1,在平面直角坐標系中,已知△AOB是等邊三角形,點A的坐標是(0,4),點B在第一象限,點P是x軸上的一個動點,連接AP,并把△AOP繞著點A按逆時針方向旋轉,使邊AO與AB重合,得到△ABD.
(1)求直線AB的解析式;
(2)當點P運動到點(,0)時,求此時DP的長及點D的坐標;
(3)是否存在點P,使△OPD的面積等于?若存在,請求出符合條件的點P的坐標;若不存在,請說明理由.
解:(1)如答圖1,過點B作BE⊥y軸于點E,作BF⊥x軸于點F。
由已知得:BF=OE=2,∴。
∴點B的坐標是(,2)。
設直線AB的解析式是y=kx+b(k≠0),則有
,解得。
∴直線AB的解析式是。
(2)∵△ABD由△AOP旋轉得到,
∴△ABD≌△AOP�!郃P=AD,∠DAB=∠PAO。
∴∠DAP=∠BAO=60°�!唷鰽DP是等邊三角形。
∴。
如答圖2,過點D作DH⊥x軸于點H,延長EB交DH于點G,則BG⊥DH。
在Rt△BDG中,∠BGD=90°,∠DBG=60°,
∴BG=BD•cos60°=.DG=BD•sin60°=。
∴OH=EG=,DH=。
∴點D的坐標為(,)。
(3)存在。
假設存在點P,在它的運動過程中,使△OPD的面積等于。
設點P為(t,0),下面分三種情況討論:
①當t>0時,如答圖2,BD=OP=t,DG=t,∴DH=2+t。
∵△OPD的面積等于,∴,
解得(舍去)。
∴點P1的坐標為(,0)。
②∵當D在x軸上時,如答圖3,
根據(jù)銳角三角函數(shù)求出BD=OP=,
∴當<t≤0時,如答圖1,BD=OP=﹣t,DG=t,
∴GH=BF=2﹣(t)=2+t。
∵△OPD的面積等于,∴,解得。
∴點P2的坐標為(,0),點P3的坐標為(,0)。
③當t≤時,如答圖4,BD=OP=﹣t,DG=t,
∴DH=t﹣2。
∵△OPD的面積等于,
∴,解得(舍去)。
∴點P4的坐標為(,0)。
綜上所述,點P的坐標分別為P1(,0)、P2(,0)、P3(,0)、
P4(,0)。
【解析】(1)過點B作BE⊥y軸于點E,作BF⊥x軸于點F.依題意得BF=OE=2,利用勾股定理求出OF,然后可得點B的坐標.設直線AB的解析式是y=kx+b,把已知坐標代入可求解。
(2)由△ABD由△AOP旋轉得到,△ABD≌△AOP,AP=AD,∠DAB=∠PAO,∠DAP=∠BAO=60°,△ADP是等邊三角形,利用勾股定理求出DP.在Rt△BDG中,∠BGD=90°,∠DBG=60°.利用三角函數(shù)求出BG=BD•cos60°,DG=BD•sin60°.然后求出OH,DH,然后求出點D的坐標。
(3)分三種情況進行討論:
①當P在x軸正半軸上時,即t>0時;
②當P在x軸負半軸,但D在x軸上方時;即<t≤0時
③當P在x軸負半軸,D在x軸下方時,即t≤時。
綜合上面三種情況即可求出符合條件的t的值。
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科目:初中數(shù)學 來源:同步輕松練習 八年級 數(shù)學 上 題型:059
學校閱覽室有能坐4人的方桌,如果多于4人,就把方桌拼成一行,2張方桌拼成一行能坐6人(如圖)
(1)按照這種規(guī)定填寫下表:
(2)根據(jù)表中的數(shù)據(jù),將s作為縱坐標,n作為橫坐標,在如圖所示的平面直角坐標系中找出相應各點.
(3)請你猜一猜上述各點會在某一個函數(shù)圖象上嗎?如果在某一函數(shù)圖象上,求出該函數(shù)的解析式,并利用你探求的結果,求出當n=10時,s的值.
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科目:初中數(shù)學 來源:2013-2014學年北京海淀區(qū)九年級第一學期期中測評數(shù)學試卷(解析版) 題型:解答題
閱讀下面的材料:
小明在研究中心對稱問題時發(fā)現(xiàn):
如圖1,當點為旋轉中心時,點繞著點旋轉180°得到點,點再繞著點旋轉180°得到點,這時點與點重合.
如圖2,當點、為旋轉中心時,點繞著點旋轉180°得到點,點繞著點旋轉180°得到點,點繞著點旋轉180°得到點,點繞著點旋轉180°得到點,小明發(fā)現(xiàn)P、兩點關于點中心對稱.
(1)請在圖2中畫出點、, 小明在證明P、兩點關于點中心對稱時,除了說明P、、三點共線之外,還需證明;
(2)如圖3,在平面直角坐標系xOy中,當、、為旋轉中心時,點繞著點旋轉180°得到點;點繞著點旋轉180°得到點;點繞著點旋轉180°得到點;點繞著點旋轉180°得到點. 繼續(xù)如此操作若干次得到點,則點的坐標為(),點的坐為.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:解答題
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