Question

【題目】已知直線y＝x+3交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B，拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，B．

（1）求拋物線解析式；

（2）點(diǎn)C（m，0）在線段OA上（點(diǎn)C不與A，O點(diǎn)重合），CD⊥OA交AB于點(diǎn)D，交拋物線于點(diǎn)E，若DE＝AD，求m的值；

（3）點(diǎn)M在拋物線上，點(diǎn)N在拋物線的對(duì)稱軸上，在（2）的條件下，是否存在以點(diǎn)D，B，M，N為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；（2）m＝﹣2；（3）存在，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（﹣1，﹣2）或（﹣1，0），理由見(jiàn)解析

【解析】

（1）先確定出點(diǎn)A，B坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法即可得出結(jié)論；

（2）先表示出DE，再利用勾股定理表示出AD，建立方程即可得出結(jié)論；

（3）分兩種情況：①以BD為一邊，判斷出△EDB≌△GNM，即可得出結(jié)論．

②以BD為對(duì)角線，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可得出結(jié)論．

（1）當(dāng)x＝0時(shí)，y＝3，

∴B（0，3），

當(dāng)y＝0時(shí)，x+3＝0，x＝﹣3，

∴A（﹣3，0），

把A（﹣3，0），B（0，3）代入拋物線y＝﹣x2+bx+c中得：，

解得：，

∴拋物線的解析式為：y＝﹣x2﹣2x+3，

（2）∵CD⊥OA，C（m，0），

∴D（m，m+3），E（m，﹣m2﹣2m+3），

∴DE＝（﹣m2﹣2m+3）﹣（m+3）＝﹣m2﹣3m，

∵AC＝m+3，CD＝m+3，

由勾股定理得：AD＝（m+3），

∵DE＝AD，

∴﹣m2﹣3m＝2（m+3），

∴m1＝﹣3（舍），m2＝﹣2；

（3）存在，分兩種情況：

①以BD為一邊，如圖1，設(shè)對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)G，

∵C（﹣2，0），

∴D（﹣2，1），E（﹣2，3），

∴E與B關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，

∴BE∥x軸，

∵四邊形DNMB是平行四邊形，

∴BD＝MN，BD∥MN，

∵∠DEB＝∠NGM＝90°，∠EDB＝∠GNM，

∴△EDB≌△GNM，

∴NG＝ED＝2，

∴N（﹣1，﹣2）；

②當(dāng)BD為對(duì)角線時(shí)，如圖2，

此時(shí)四邊形BMDN是平行四邊形，

設(shè)M（n，﹣n2﹣2n+3），N（﹣1，h），

∵B(0，3),D(-2，1),

∴

∴n＝-1，h＝0

∴N（﹣1，0）；

綜上所述，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（﹣1，﹣2）或（﹣1，0）．