Question

【題目】“分塊計(jì)數(shù)法”：對(duì)有規(guī)律的圖形進(jìn)行計(jì)數(shù)時(shí)，有些題可以采用“分塊計(jì)數(shù)”的方法．

例如：圖1有6個(gè)點(diǎn)，圖2有12個(gè)點(diǎn)，圖3有18個(gè)點(diǎn)，……，按此規(guī)律，求圖10、圖n有多少個(gè)點(diǎn)？

我們將每個(gè)圖形分成完全相同的6塊，每塊黑點(diǎn)的個(gè)數(shù)相同（如圖），這樣圖1中黑點(diǎn)個(gè)數(shù)是6×1=6個(gè)；圖2中黑點(diǎn)個(gè)數(shù)是6×2=12個(gè)：圖3中黑點(diǎn)個(gè)數(shù)是6×3=18個(gè)；所以容易求出圖10、圖n中黑點(diǎn)的個(gè)數(shù)分別是　 　、　 　．

請(qǐng)你參考以上“分塊計(jì)數(shù)法”，先將下面的點(diǎn)陣進(jìn)行分塊（畫(huà)在答題卡上），再完成以下問(wèn)題：

（1）第5個(gè)點(diǎn)陣中有　 　個(gè)圓圈；第n個(gè)點(diǎn)陣中有　 　個(gè)圓圈．

（2）小圓圈的個(gè)數(shù)會(huì)等于271嗎？如果會(huì)，請(qǐng)求出是第幾個(gè)點(diǎn)陣．

Answer 1

【答案】60個(gè)，6n個(gè)；（1）61；3n2﹣3n+1，（2）小圓圈的個(gè)數(shù)會(huì)等于271，它是第10個(gè)點(diǎn)陣．

【解析】根據(jù)規(guī)律求得圖10中黑點(diǎn)個(gè)數(shù)是6×10=60個(gè)；圖n中黑點(diǎn)個(gè)數(shù)是6n個(gè)；

（1）第2個(gè)圖中2為一塊，分為3塊，余1，

第2個(gè)圖中3為一塊，分為6塊，余1；

按此規(guī)律得：第5個(gè)點(diǎn)陣中5為一塊，分為12塊，余1，得第n個(gè)點(diǎn)陣中有：n×3（n﹣1）+1=3n2﹣3n+1，

（2）代入271，列方程，方程有解則存在這樣的點(diǎn)陣．

圖10中黑點(diǎn)個(gè)數(shù)是6×10=60個(gè)；圖n中黑點(diǎn)個(gè)數(shù)是6n個(gè)，

故答案為：60個(gè)，6n個(gè)；

（1）如圖所示：第1個(gè)點(diǎn)陣中有：1個(gè)，

第2個(gè)點(diǎn)陣中有：2×3+1=7個(gè)，

第3個(gè)點(diǎn)陣中有：3×6+1=17個(gè)，

第4個(gè)點(diǎn)陣中有：4×9+1=37個(gè)，

第5個(gè)點(diǎn)陣中有：5×12+1=60個(gè)，

…

第n個(gè)點(diǎn)陣中有：n×3（n﹣1）+1=3n2﹣3n+1，

故答案為：60，3n2﹣3n+1；

（2）3n2﹣3n+1=271，

n2﹣n﹣90=0，

（n﹣10）（n+9）=0，

n1=10，n2=﹣9（舍），

∴小圓圈的個(gè)數(shù)會(huì)等于271，它是第10個(gè)點(diǎn)陣．