Question

【題目】 閱讀：我們約定，在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過某點(diǎn)且平行于坐標(biāo)軸或平行于兩坐標(biāo)軸夾角平分線的直線，叫該點(diǎn)的“特征線”．例如，點(diǎn)M（1，3）的特征線有：x=1，y=3，y=x+2，y=﹣x+4．

問題與探究：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有正方形OABC，點(diǎn)B在第一象限，A、C分別在x軸和y軸上，拋物線經(jīng)過B、C兩點(diǎn)，頂點(diǎn)D在正方形內(nèi)部．

（1）直接寫出點(diǎn)D（m，n）所有的特征線；

（2）若點(diǎn)D有一條特征線是y=x+1，求此拋物線的解析式；

（3）點(diǎn)P是AB邊上除點(diǎn)A外的任意一點(diǎn)，連接OP，將△OAP沿著OP折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)A′的位置，當(dāng)點(diǎn)A′在平行于坐標(biāo)軸的D點(diǎn)的特征線上時(shí)，滿足（2）中條件的拋物線向下平移多少距離，其頂點(diǎn)落在OP上？

Answer 1

【答案】（1）x=m，y=n，y=x+n﹣m，y=﹣x+m+n；（2）；（3）拋物線向下平移或距離，其頂點(diǎn)落在OP上．

【解析】

試題（1）根據(jù)特征線直接求出點(diǎn)D的特征線；

（2）由點(diǎn)D的一條特征線和正方形的性質(zhì)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，從而求出拋物線解析式；

（2）分平行于x軸和y軸兩種情況，由折疊的性質(zhì)計(jì)算即可．

試題解析：解：（1）∵點(diǎn)D（m，n），∴點(diǎn)D（m，n）的特征線是x=m，y=n，y=x+n﹣m，y=﹣x+m+n；

（2）點(diǎn)D有一條特征線是y=x+1，∴n﹣m=1，∴n=m+1．∵拋物線解析式為，∴，∵四邊形OABC是正方形，且D點(diǎn)為正方形的對稱軸，D（m，n），∴B（2m，2m），∴，將n=m+1帶入得到m=2，n=3；

∴D（2，3），∴拋物線解析式為．

（3）①如圖，當(dāng)點(diǎn)A′在平行于y軸的D點(diǎn)的特征線時(shí)：

根據(jù)題意可得，D（2，3），∴OA′=OA=4，OM=2，∴∠A′OM=60°，∴∠A′OP=∠AOP=30°，∴MN==，∴拋物線需要向下平移的距離==．

②如圖，當(dāng)點(diǎn)A′在平行于x軸的D點(diǎn)的特征線時(shí)，設(shè)A′（p，3），則OA′=OA=4，OE=3，EA′==，∴A′F=4﹣，設(shè)P（4，c）（c＞0），，在Rt△A′FP中，（4﹣）2+（3﹣c）2=c2，∴c=，∴P（4，），∴直線OP解析式為y=x，∴N（2，），∴拋物線需要向下平移的距離=3﹣=．

綜上所述：拋物線向下平移或距離，其頂點(diǎn)落在OP上．