Question

（2012•內江模擬）如圖，拋物線y=ax²+bx+c與x軸交A（-1，0）、B（3，0）兩點，交y軸于點C（0，-3），
（1）求此拋物線的解析式；
（2）在x軸下方的拋物線上是否存在點D，使四邊形ABDC的面積為9，若存在，求出點D的坐標；若不存在．說明理由；
（3）在（2）的情況下，P是線段AD上的一個動點，過P點作y軸的平行線交拋物線于Q點，求線段PQ長度的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式即可；
（2）設D（a，a²-2a-3），過點D，作DE⊥x軸于E，利用S_{四邊形ACDB}=S_△AOC+S_梯形OCDE+S_△DEB，求出a的值即可，進而求出D點坐標即可；
（3）根據(jù)（2）中D點坐標，進而表示出PQ的長度，利用二次函數(shù)的最值求出即可．

解答：解：（1）由A（-1，0）、B（3，0）、C（0，-3）三點的坐標，
代入y=ax²+bx+c得：

a-b+c=0 9a+3b+c=0 c=-3

，
解得：

a=1 b=-2 c=-3

，
故拋物線解析式為：y=x²-2x-3；

（2）存在，
如圖1，設D（a，a²-2a-3），過點D 作DE⊥x軸于E
則S_{四邊形ACDB}=S_△AOC+S_梯形OCDE+S_△DEB，
=

1

2

×3×1+

1

2

a（-a²+2a+3+3）+

1

2

（-a²+2a+3）（3-a），
=-

3

2

a2+

9

2

a+6，
由S_{四邊形ACDB}=9得，
-

3

2

a2+

9

2

a+6=9，
解得a₁=2，a₂=1，
當a=2，a²-2a-3=-3，
當a=1，a²-2a-3=-4，
則D（2，-3）或D（1，-4）；

（3）由于點D存在兩種情形，則也有兩種情形
①如圖2，當D（2，-3）時，A（-1，0），
代入y=ax+b得：

-a+b=0 2a+b=-3

，
解得：

a=-1 b=-1

，
故直線AD的解析式為：y=-x-1，
可設P（m，-m-1）；則Q（m，m²-2m-3），
則PQ=-（m²-2m-3）-m-1=-m²+m+2=-（m-

1

2

） ²+

9

4

，
此時PQ的最大值為

9

4

，
②如圖3，當D（1，-4）時，可求得直線AD的解析式為：y=-2x-2，
可設P（m，-2m-2）；則Q（m，m²-2m-3），
則PQ=-（m²-2m-3）-2m-2=-m²+1，
此時PQ的最大值為1．

點評：此題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式以及圖形面積和二次函數(shù)的最值問題，利用四邊形面積得出a的值是解題關鍵．