Question

如圖①，在?ABCD中，AB=13，BC=50，BC邊上的高為12．點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿B﹣A﹣D﹣A運(yùn)動，沿B﹣A運(yùn)動時的速度為每秒13個單位長度，沿A﹣D﹣A運(yùn)動時的速度為每秒8個單位長度．點(diǎn)Q從點(diǎn) B出發(fā)沿BC方向運(yùn)動，速度為每秒5個單位長度．P、Q兩點(diǎn)同時出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C時，P、Q兩點(diǎn)同時停止運(yùn)動．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時間為t（秒）．連結(jié)PQ．

（1）當(dāng)點(diǎn)P沿A﹣D﹣A運(yùn)動時，求AP的長（用含t的代數(shù)式表示）．
（2）連結(jié)AQ，在點(diǎn)P沿B﹣A﹣D運(yùn)動過程中，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B、點(diǎn)A不重合時，記△APQ的面積為S．求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式．
（3）過點(diǎn)Q作QR∥AB，交AD于點(diǎn)R，連結(jié)BR，如圖②．在點(diǎn)P沿B﹣A﹣D運(yùn)動過程中，當(dāng)線段PQ掃過的圖形（陰影部分）被線段BR分成面積相等的兩部分時t的值．
（4）設(shè)點(diǎn)C、D關(guān)于直線PQ的對稱點(diǎn)分別為C′、D′，直接寫出C′D′∥BC時t的值．

Answer 1

（1）108﹣8t。
（2）。
（3）當(dāng)t=1或時，線段PQ掃過的圖形（陰影部分）被線段BR分成面積相等的兩部分。
（4）當(dāng)t=7，t=，t=時，點(diǎn)C、D關(guān)于直線PQ的對稱點(diǎn)分別為C′、D′，且C′D′∥BC。

解析試題分析：（1）分情況討論：當(dāng)點(diǎn)P沿A﹣D運(yùn)動時，當(dāng)點(diǎn)P沿D﹣A運(yùn)動時分別可以表示出AP的值。
當(dāng)點(diǎn)P沿A﹣D運(yùn)動時，AP=8（t﹣1）=8t﹣8；
當(dāng)點(diǎn)P沿D﹣A運(yùn)動時，AP=50×2﹣8（t﹣1）=108﹣8t。
（2）分類討論：當(dāng)0＜t＜1時，當(dāng)1＜t＜時，根據(jù)三角形的面積公式分別求出S與t的函數(shù)關(guān)系式。
當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時，BP=AB，t=1。
當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)D重合時，AP=AD，8t﹣8=50，t=。
當(dāng)0＜t＜1時，如圖，

作過點(diǎn)Q作QE⊥AB于點(diǎn)E，
S_△ABQ=，
即。
∴。
∴S=。
當(dāng)1＜t≤時，如圖，

S=。
綜上所述， 。
（3）分類討論：當(dāng)0＜t＜1時，當(dāng)1＜t＜時，當(dāng)＜t＜時，利用三角形的面積相等建立方程求出其解即可。
點(diǎn)P與點(diǎn)R重合時，AP=BQ，8t﹣8=5t，t=。
當(dāng)0＜t≤1時，如圖，

∵S_△BPM=S_△BQM，∴PM=QM。
∵AB∥QR，
∴∠PBM=∠QRM，∠BPM=∠MQR。
在△BPM和△RQM中，，
∴△BPM≌△RQM（AAS）�！郆P=RQ。
∵RQ=AB，∴BP=AB。
∴13t=13，解得：t=1。
當(dāng)1＜t≤時，如圖，

∵BR平分陰影部分面積，∴P與點(diǎn)R重合。
∴t=。
當(dāng)＜t≤時，如圖，

∵S_△ABR=S_△QBR，∴S_△ABR＜S_{四邊形BQPR}。
∴BR不能把四邊形ABQP分成面積相等的兩部分。
（4）分類討論：
當(dāng)P在A﹣D之間或D﹣A之間，C′D′在BC上方且C′D′∥BC時，如圖，

∴∠C′OQ=∠OQC。
∵△C′OQ≌△COQ，∴∠C′OQ=∠COQ。
∴∠CQO=∠COQ。∴QC=OC。
∴50﹣5t=50﹣8（t﹣1）+13，
或50﹣5t=8（t﹣1）﹣50+13，
解得：t=7或t=。
當(dāng)P在A﹣D之間或D﹣A之間，C′D′在BC下方且C′D′∥BC時，如圖，

同理由菱形的性質(zhì)可以得出：OD=PD。
∴50﹣5t+13=50﹣8（t﹣1），
或50﹣5t+13=50﹣（108﹣8t）。
50﹣5t+13=50﹣8（t﹣1）無解；
由50﹣5t+13=50﹣（108﹣8t）解得：t=。
綜上所述，當(dāng)t=7，t=，t=時，點(diǎn)C、D關(guān)于直線PQ的對稱點(diǎn)分別為C′、D′，且C′D′∥BC。