Question

已知：△ABC的中線(xiàn)BD、CE交于點(diǎn)O，F(xiàn)、G分別是OB、OC的中點(diǎn)．
（1）求證：四邊形DEFG是平行四邊形．
（2）若使四邊形DEFG變成矩形，請(qǐng)直接寫(xiě)出△ABC的邊長(zhǎng)應(yīng)該滿(mǎn)足的條件．

Answer 1

分析：（1）先由三角形中位線(xiàn)的性質(zhì)定理，可得ED∥BC，F(xiàn)G∥BC，且都等于邊長(zhǎng)BC的一半，則ED∥FG且ED=FG，再根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形即可證明；
（2）當(dāng)AB=AC時(shí)，?DEFG變成矩形．連接AO并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)M，先由三角形中線(xiàn)的性質(zhì)得出M為BC的中點(diǎn)，當(dāng)AB=AC時(shí)，由等腰三角形三線(xiàn)合一的性質(zhì)得出AM⊥BC，再由三角形中位線(xiàn)的性質(zhì)及平行線(xiàn)的性質(zhì)得出EF⊥FG，從而證明?EFGH是矩形．

解答：（1）證明：∵△ABC的中線(xiàn)BD、CE相交于點(diǎn)O，
∴ED∥BC且ED=

1

2

BC，
∵F、G分別是OB、OC的中點(diǎn)，
∴FG∥BC且FG=

1

2

BC，
∴ED∥FG且ED=FG，
∴四邊形DEFG是平行四邊形．

（2）解：當(dāng)AB=AC時(shí)，?DEFG變成矩形．理由如下：
連接AO并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)M．
∵三角形的三條中線(xiàn)相交于同一點(diǎn)，△ABC的中線(xiàn)BD、CE交于點(diǎn)O，
∴M為BC的中點(diǎn)，
當(dāng)AB=AC時(shí)，AM⊥BC，
∵E，F(xiàn)，G分別是AB，OB，OC的中點(diǎn)，
∴EF∥AO，F(xiàn)G∥BC，
∴EF⊥FG；
∴?EFGH是矩形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行四邊形、矩形的判定，三角形的中位線(xiàn)性質(zhì)定理，三角形中線(xiàn)的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)，其中三角形的中位線(xiàn)的性質(zhì)定理為證明線(xiàn)段相等和平行提供了依據(jù)．