Question

如圖，已知點A(－4，8)和點B(2，n)在拋物線y＝a²上．

(1)求a的值及點B關于x軸對稱點P的坐標，并在x軸上找一點Q，使得AQ＋QB最短，求出點Q的坐標；

(2)平移拋物線y＝ax²，記平移后點A的對應點為，點B的對應點為，點C(－2，0)和點D(－4，0)是x軸上的兩個定點．

①當拋物線向左平移到某個位置時，＋最短，求此時拋物線的函數(shù)解析式；

②當拋物線向左或向右平移時，是否存在某個位置，使四邊形的周長最短？若存在，求出此時拋物線的函數(shù)解析式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)將點A(－4，8)的坐標代入y＝ax2，解得．……1分 　　將點B(2，n)的坐標代入，求得點B的坐標為(2，2)，……1分 　　則點B關于x軸對稱點P的坐標為(2，－2)．……1分 　　直線AP的解析式是．……1分 　　令y＝0，得．即所求點Q的坐標是(，0)．……1分 　　(2)①解法1：CQ＝|－2－|＝，……1分 　　故將拋物線向左平移個單位時，＋最短，……2分 　　此時拋物線的函數(shù)解析式為．……1分 　　解法2：設將拋物線向左平移m個單位，則平移后，的坐標分別為(－4－m，8)和(2－m，2)，點關于x軸對稱點的坐標為(－4－m，－8)． 　　直線的解析式為．……1分 　　要使＋最短，點C應在直線上，……1分 　　將點C(－2，0)代入直線A′′B′的解析式，解得．……1分 　　故將拋物線向左平移個單位時＋最短，此時拋物線的函數(shù)解析式為．……1分 　�、谧笥移揭茠佄锞€，因為線段′和CD的長是定值，所以要使四邊形A′B′CD的周長最短，只要使＋最短；……1分 　　第一種情況：如果將拋物線向右平移，顯然有＋＞AD＋CB，因此不存在某個位置，使四邊形的周長最短．……1分 　　第二種情況：設拋物線向左平移了b個單位，則點和點的坐標分別為(－4－b，8)和(2－b，2)． 　　因為CD＝2，因此將點B′向左平移2個單位得(－b，2)， 　　要使＋最短，只要使＋最短．……1分 　　點A′關于x軸對稱點的坐標為(－4－b，－8)， 　　直線的解析式為．……1分 　　要使＋最短，點D應在直線上，將點D(－4，0)代入直線的解析式，解得． 　　故將拋物線向左平移時，存在某個位置，使四邊形的周長最短，此時拋物線的函數(shù)解析式為 ．……1分