【題目】如圖,已知Rt△ABC 中,∠ACB=90°,BC=2,AC=3,以點C為圓心、CB為半徑的圓交AB于點D,過點A作AE∥CD,交BC延長線于點E.
(1)求CE的長;
(2)P是 CE延長線上一點,直線AP、CD交于點Q.
①如果△ACQ ∽△CPQ,求CP的長;
②如果以點A為圓心,AQ為半徑的圓與⊙C相切,求CP的長.
【答案】(1)CE=;(2)①;②
【解析】分析:(1)由平行線分線段成比例定理得:.再由BC=DC,得到BE=AE.設CE=x,則AE=BE=x+2.在Rt△ACE中,由勾股定理即可得出結論.
(2)①由△ACQ ∽△CPQ,得到∠ACQ=∠P.再由平行線的性質得到∠ACQ=∠CAE,則∠CAE=∠P,即可證明△ACE ∽△PCA,由相似△的性質即可得到結論.
②設CP=t,則 .在Rt△ACP中,由勾股定理得: .
再由平行線分線段成比例定理得,可求出.然后分兩種情況討論:①若兩圓外切,則,②若兩圓內切,則,解方程即可.
詳解:(1)∵AE∥CD,∴.∵BC=DC,∴BE=AE.
設CE=x,則AE=BE=x+2.
∵ ∠ACB=90°,∴ ,即,∴,即.
(2)①∵△ACQ ∽△CPQ,∠QAC>∠P,∴∠ACQ=∠P.
又∵AE∥CD,∴∠ACQ=∠CAE,∴∠CAE=∠P,
∴△ACE ∽△PCA,
∴,
即,
∴ .
②設CP=t,則 .
∵∠ACB=90°,∴ .
∵AE∥CD,∴,即,∴.
若兩圓外切,那么,此時方程無實數解.
若兩圓內切,那么,∴ ,解得.
又∵,∴.
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【題目】“中國漢字聽寫大會”是由中央電視臺和國家語言文字工作委員會聯(lián)合主辦的節(jié)目,希望通過節(jié)目的播出,能吸引更多的人關注對漢字文化的學習.某校也開展了一次“漢字聽寫”比賽,每位參賽學生聽寫40個漢字.比賽結束后隨機抽取部分學生的聽寫結果,按聽寫正確的漢字個數x繪制成了以下不完整的統(tǒng)計圖.
根據以上信息回答下列問題:
(1)本次共隨機抽取了 名學生進行調查,聽寫正確的漢字個數x在 范圍的人數最多;
(2)補全頻數分布直方圖;
(3)各組的組中值如下表所示.若用各組的組中值代表各組每位學生聽寫正確的漢字個數,求被調查學生聽寫正確的漢字個數的平均數;
聽寫正確的漢字個數x | 組中值 |
1≤x<11 | 6 |
11≤x<21 | 16 |
21≤x<31 | 26 |
31≤x<41 | 36 |
(4)該校共有1350名學生,如果聽寫正確的漢字個數不少于21個定為良好,請你估計該校本次“漢字聽寫”比賽達到良好的學生人數.
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【題目】為鼓勵市民節(jié)約用水,某市自來水公司對每戶用水量進行了分段計費,每戶每月用水量在規(guī)定噸數以下的收費標準相同,規(guī)定噸數以上的超過部分收費相同.如表是小明家1-4月
用水量和交費情況,根據表格提供的數據,回答:
月份 | 一 | 二 | 三 | 四 |
用水量(噸) | 6 | 7 | 12 | 15 |
水費(元) | 12 | 14 | 28 | 37 |
(1)該市規(guī)定用水量為 噸,規(guī)定用量內的收費標準是 元/噸,超過部分的收費標準是 元/噸。
(2)若小明家5月份用水20噸,則應繳水費 元。
(3)若小明家6月份應交水費46元,則6月份他們家的用水量是多少噸?
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【題目】函數是描述客觀世界運動變化的重要模型,理解函數的本質是重要的任務。
(1)如圖1,在平面直角坐標系中,已知點A、B的坐標分別為A(6,0)、B(0,2),點C(x,y)在線段AB上,計算(x+y)的最大值。小明的想法是:這里有兩個變量x、y,若最大值存在,設最大值為m,則有函數關系式y=-x+m,由一次函數的圖像可知,當該直線與y軸交點最高時,就是m的最大值,(x+y)的最大值為 ;
(2)請你用(1)中小明的想法解決下面問題:
如圖2,以(1)中的AB為斜邊在右上方作Rt△ABM.設點M坐標為(x,y),求(x+y)的最大值是多少?
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【題目】甲乙兩個工程隊分別同時開挖兩條600米長的管道,所挖管道長度(米)與挖掘時間(天)之間的關系如圖所示,則下列說法中:
①甲隊每天挖100米;②乙隊開挖兩天后,每天挖50米;③甲隊比乙隊提前1天完成任務;④當時,甲乙兩隊所挖管道長度相同,不正確的個數有( )
A. 4個B. 3個C. 2個D. 1個
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【題目】如圖,直線l經過⊙O的圓心O,且與⊙O交于A、B兩點,點C在⊙O上,且∠AOC=30°,點P是直線l上的一個動點(與圓心O不重合),直線CP與⊙O相交于另一點Q,如果QP=QO,則∠OCP= .
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【題目】某電視臺的一檔娛樂性節(jié)目中,在游戲PK環(huán)節(jié),為了隨機分選游戲雙方的組員,主持人設計了以下游戲:用不透明的白布包住三根顏色長短相同的細繩AA1、BB1、CC1,只露出它們的頭和尾(如圖所示),由甲、乙兩位嘉賓分別從白布兩端各選一根細繩,并拉出,若兩人選中同一根細繩,則兩人同隊,否則互為反方隊員.
(1)若甲嘉賓從中任意選擇一根細繩拉出,求他恰好抽出細繩AA1的概率;
(2)請用畫樹狀圖法或列表法,求甲、乙兩位嘉賓能分為同隊的概率.
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【題目】在平行四邊形ABCD中,∠BAD的平分線交線段BC于點E,交線段DC的延長線于點F,以EC、CF為鄰邊作平行四邊形ECFG.
(1)如圖1,證明平行四邊形ECFG為菱形;
(2)如圖2,若∠ABC=90°,M是EF的中點,求∠BDM的度數;
(3)如圖3,若∠ABC=120°,請直接寫出∠BDG的度數.
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【題目】如圖1,以矩形的頂點為原點,所在直線為軸,所在直線為軸,建立平面直角坐標系,頂點為點的拋物線經過點,點.
(1)寫出拋物線的對稱軸及點的坐標,
(2)將矩形繞點順時針旋轉得到矩形.
①當點恰好落在的延長線上時,如圖2,求點的坐標.
②在旋轉過程中,直線與直線分別與拋物線的對稱軸相交于點,點.若,求點的坐標.
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