Question

如圖，已知一次函數(shù)y=-x+7與正比例函數(shù)y=x的圖象交于點(diǎn)A，且與x軸交于點(diǎn)B。

（1）求點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）過點(diǎn)A作AC⊥y軸于點(diǎn)C，過點(diǎn)B作直線l∥y軸．動點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個單位長的速度，沿O-C-A的路線向點(diǎn)A運(yùn)動；同時直線l從點(diǎn)B出發(fā)，以相同速度向左平移，在平移過程中，直線l交x軸于點(diǎn)R，交線段BA或線段AO于點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A時，點(diǎn)P和直線l都停止運(yùn)動，在運(yùn)動過程中，設(shè)動點(diǎn)P運(yùn)動的時間為t秒。
①當(dāng)t為何值時，以A、P、R為頂點(diǎn)的三角形的面積為8？
②是否存在以A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，請說明理由。

Answer 1

解：（1）根據(jù)題意，得， 解得， ∴A（3，4）， 令y=-x+7=0，得x=7， ∴B（7，0）。
（2）①當(dāng)P在OC上運(yùn)動時，0≤t＜4， 由S△APR=S梯形COBA-S△ACP-S△POR-S△ARB=8， 得（3+7）×4-×3×（4-t）-t（7-t）-t×4=8 整理，得t2-8t+12=0， 解之得t1=2，t2=6（舍）
當(dāng)P在CA上運(yùn)動，4≤t＜7， 由S△APR=×（7-t）×4=8，得t=3（舍） ∴當(dāng)t=2時，以A、P、R為頂點(diǎn)的三角形的面積為8；
②當(dāng)P在OC上運(yùn)動時，0≤t＜4，此時直線l交AB于Q， ∴AP=，AQ=t，PQ=7-t 當(dāng)AP=AQ時， （4-t）2+32=2（4-t）2， 整理得，t2-8t+7=0， ∴t=1，t=7（舍） 當(dāng)AP=PQ時， （4-t）2+32=（7-t）2， 整理得，6t=24， ∴t=4（舍去） 當(dāng)AQ=PQ時，2（4-t）2=（7-t）2 整理得，t2-2t-17=0 ∴t=1±3（舍）
當(dāng)P在CA上運(yùn)動時，4≤t＜7， 此時直線l交AO于Q， 過A作AD⊥OB于D，則AD=BD=4， 設(shè)直線l交AC于E，則QE⊥AC，AE=RD=t-4，AP=7-t， 由cos∠OAC=，得AQ=（t-4）， 當(dāng)AP=AQ時，7-t=（t-4）， 解得t=， 當(dāng)AQ=PQ時，AE=PE，即AE=AP 得t-4=（7-t）， 解得t =5， 當(dāng)AP=PQ時， 過P作PF⊥AQ于F AF=AQ =×（t-4）， 在Rt△APF中， 由cos∠PAF=， 得AF=AP 即（t-4）=×（7-t）， 解得t=， ∴綜上所述，t=1或或5或時，△APQ是等腰三角形。