Question

如圖，∠B=∠C=90°，M是BC的中點，DM平分∠ADC．
求證：①AM平分∠DAB，②AD=AB+CD．

Answer 1

證明：（1）在AD上截取DN=DC，連接MN，
∵DM平分∠ADC，
∴∠NDM=∠CDM，
在△MDC和△MDN中
，
∴△MDC≌△MDN（SAS），
∴∠C=∠DNM=90°=∠ANM，CM=NM=BM，
∵∠B=90°，
∴∠B=∠ANM=90°，
在Rt△ABM和Rt△ANM中
，
∴Rt△ABM≌Rt△ANM（HL），
∴AB=AN，∠BAM=∠NAM，
∴AM平分∠BAD．

（2）由（1）知：AB=AN，DC=DN，
∴AD=AN+DN=AB+CD，
即AD=AB+CD．
分析：（1）在AD上截取DN=DC，連接MN，根據SAS證△MDC≌△MDN，推出∠C=∠DNM=90°=∠ANM，CM=NE=BE，求出∠B=∠ANM=90°，根據HL證Rt△ABM≌Rt△ANM，推出AB=AN，∠BAM=∠NAM即可；
（2）由（1）AN=AB，DN=DC，代入求出即可．
點評：本題考查了全等三角形的性質和判定的應用，能熟練地運用性質進行推理是解此題的關鍵，注意解題的方法：在大線段上截取DN=CD，證AN=AB即可．