Question

【題目】如圖1，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，作正方形MNPQ，使點(diǎn)A、C分別在MQ和MN上，連接AN、BQ．
（1）直接寫出線段AN和BQ的數(shù)量關(guān)系是 ．
（2）將正方形MNPQ繞點(diǎn)M逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)θ（0°＜θ≤360°）
①判斷（1）的結(jié)論是否成立？請(qǐng)利用圖2證明你的結(jié)論；
②若BC=MN=6，當(dāng)θ（0°＜θ≤360°）為何值時(shí)，AN取得最大值，請(qǐng)畫出此時(shí)的圖形，并直接寫出AQ的值．

Answer 1

【答案】
（1）BQ=AN
（2）解：①BQ=AN成立．

理由：如圖2，連接AM，

∵在Rt△BAC中，M為斜邊BC中點(diǎn)，

∴AM=BM，AM⊥BC，

∴∠AMQ+∠QMB=90°．

∵四邊形PQMN為正方形，

∴MQ=NM，且∠QMN=90°，

∴∠AMQ+∠NMA=90°，

∴∠BMQ=∠AMN．

在△BMQ和△AMN中，

，

∴△BMQ≌△AMN（SAS），

∴BQ=AN；

②由①得，BQ=AN，

∴當(dāng)BQ取得最大值時(shí)，AN取得最大值．

如圖3，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角θ=270°時(shí)，BQ=AN（最大），此時(shí)∠AMQ=90°．

∵BC=MN=6，M是BC的中點(diǎn)，

∴MQ=6，AM= BC=3，

∴在Rt△AMQ中，由勾股定理得

AQ= = =3 ．

【解析】解：（1）BQ=AN．理由：如圖1，∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，
∴AM⊥BC，BM=AM，
∴∠AMB=∠AMC=90°．
∵四邊形PQMN是正方形，
∴QM=NM．
在△QMB和△NMA中，
，
∴△QMB≌△NMA（SAS），
∴BQ=AN．
所以答案是：BQ=AN；
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的勾股定理的概念和正方形的性質(zhì)，需要了解直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；正方形四個(gè)角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對(duì)角線相等，并且互相垂直平分，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角；正方形的一條對(duì)角線把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形；正方形的對(duì)角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對(duì)角線把這個(gè)正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形才能得出正確答案．