Question

【題目】如圖，平行四邊形中，對(duì)角線、相交于，，、、分別是、、的中點(diǎn)，下列結(jié)論：①；②；③；④平分；⑤四邊形是菱形，其中正確的個(gè)數(shù)是（ ）

A.5B.4C.3D.2

Answer 1

【答案】C

【解析】

根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得OB=BC,由等腰三角形的性質(zhì)可判斷①正確，由直角三角形的性質(zhì)和三角形中位線定理可判斷②錯(cuò)誤，通過證四邊形BGFE是平行四邊形,可判斷③正確，由平行線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)可判斷④正確，假設(shè)結(jié)論成立得到∠BAC=30°，與題意不符合，即可判斷⑤錯(cuò)誤．

解: ∵四邊形ABCD是平行四邊形.
∴.BO=DO=BD，AD=BC，AB=CD，AB∥DC，

又∵BD=2AD,
∴OB= BC=OD=DA，∴△OBC是等腰三角形，且點(diǎn)E是OC中點(diǎn)，
∴BE⊥AC,
故①正確;

∵E、F分別是OC、OD的中點(diǎn)，
∴EF //CD，EF=CD,
∵點(diǎn)G是Rt△ABE斜邊AB上的中點(diǎn),
∴GE=AB=AG= BG

∴EG=EF=AG=BG,無法證明GE=GF,

假設(shè)GE=GF成立，即GE=GF=BG=AG成立,則∠ABE=60°∴∠BAC=30°這不符合題意，

故②錯(cuò)誤；

∵BG=EF, EF∥CD∥AB,

∴四邊形BGFE是平行四邊形，

∴GE=BE,且BG=EF,GE=GE,

∴△BGE≌△FEG(SSS)

故③正確；

∵EF∥CD∥AB,

∴∠BAC=∠ACD=∠AEF

∵AG=GE

∴∠GAE=∠AEG,

∴∠AEG=∠AEF

∴AE平分∠GEF,

故④正確，
若四邊形BEFG是菱形
∴BE=BG=AB,
∴∠BAC= 30°
與題意不符合
故⑤錯(cuò)誤,
故選: C.