Question

【題目】[問題解答]

兩個(gè)城鎮(zhèn)與一條公路位置如圖①所示.現(xiàn)電信部門需在公路上修建一座信號發(fā)射塔要求發(fā)射塔到兩個(gè)城鎮(zhèn)與的距離之和最短．

　　　　　　

解：點(diǎn)作關(guān)于直線的對稱點(diǎn)連結(jié),

與直線的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn).

點(diǎn)關(guān)于直線對稱，

直線垂直平分

點(diǎn)即為所求的點(diǎn)。(兩點(diǎn)之間線段最短)

請根據(jù)以上問題解答，完成下列問題．

[方法運(yùn)用]如圖②，在正方形中，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在對角線AC上，

（1）當(dāng)點(diǎn)是邊的中點(diǎn)時(shí)，則的最小值為 ；

（2）若求周長的最小值．

[拓展提升]如圖③，在中，，AD平分交于點(diǎn)，點(diǎn)分別在上，則的最小值為 ．

Answer 1

【答案】[方法運(yùn)用]（1）；（2）△BEM周長的最小值6；[拓展提升]．

【解析】

[方法運(yùn)用]

（1）易知B關(guān)于AC的對稱點(diǎn)D，連接DE交AC于M，則的最小值為DE，根據(jù)勾股定理即可求出DE長；

（2）作點(diǎn)E作關(guān)于AC的對稱點(diǎn)E1，連結(jié)BE1，交AC與點(diǎn)M，求出的最小值，即可求出三角形周長的最小值；

[拓展提升]

由角平分線可得到F點(diǎn)對稱點(diǎn)始終在AB上，延長CE交AB于P點(diǎn)，則CP=，當(dāng)CP⊥AB時(shí)，即可求得最小值．

解：[方法運(yùn)用]

（1）易知B點(diǎn)關(guān)于AC對稱點(diǎn)為D點(diǎn)，連接DE交AC于M，

的最小值為，

∴則的最小值為．

（2）作點(diǎn)E作關(guān)于AC的對稱點(diǎn)E1，連結(jié)BE1，交AC與點(diǎn)M．

∵點(diǎn)E、E1關(guān)于AC對稱，

∴AC垂直平分EE1

∴，

∴，

∴，

又∵BE=4-3=1，

∴△BEM周長的最小值6．

[拓展提升]

∵AD平分，

∴F點(diǎn)關(guān)于AD的對稱點(diǎn)始終在AB上，

延長CE交AB于P點(diǎn)，則P點(diǎn)為F點(diǎn)的對稱點(diǎn)，即CP=，

∴當(dāng)CP⊥AB時(shí)，有最小值，

∵，

∴AB=5，

∴CP=，

∴的最小值為．