Question

（2012•宿遷）如圖，在四邊形ABCD中，∠DAB=∠ABC=90°，CD與以AB為直徑的半圓相切于點(diǎn)E，EF⊥AB于點(diǎn)F，EF交BD于點(diǎn)G，設(shè)AD=a，BC=b．
（1）求CD的長(zhǎng)度（用a，b表示）；
（2）求EG的長(zhǎng)度（用a，b表示）；
（3）試判斷EG與FG是否相等，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）由AB為半圓的直徑，∠DAB=∠ABC=90°，根據(jù)切線(xiàn)的判定方法得到DA、BC為半圓O的切線(xiàn)，而CD與以AB為直徑的半圓相切于點(diǎn)E，根據(jù)切線(xiàn)長(zhǎng)定理得到DE=DA=a，CE=CB=b，即有CD=a+b；
（2）易得EG∥BC，根據(jù)平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理有EG：BC=DE：DC，即EG：b=a：（a+b），即可表示出EG=

ab

a+b

；
（3）由EG∥BC，根據(jù)平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理

DG

DB

=

EG

BC

，即

EG

b

=

DG

DB

，由GF∥AD得到

FG

AD

=

BG

BD

，即

FG

a

=

BG

BD

，則

EG

b

+

FG

a

=

DG

BD

+

BG

BD

=1，然后把EG=

ab

a+b

代入計(jì)算即可得到FG=

ab

a+b

，即可得到EG=FG．

解答：解：（1）∵AB為半圓的直徑，∠DAB=∠ABC=90°，
∴DA、BC為半圓O的切線(xiàn)，
又∵CD與以AB為直徑的半圓相切于點(diǎn)E，
∴DE=DA=a，CE=CB=b，
∴CD=a+b；
（2）∵EF⊥AB，
∴EG∥BC，
∴EG：BC=DE：DC，即EG：b=a：（a+b），
∴EG=

ab

a+b

；
（3）EG與FG相等．理由如下：
∵EG∥BC，
∴

DG

DB

=

EG

BC

，即

EG

b

=

DG

DB

①，
又∵GF∥AD，
∴

FG

AD

=

BG

BD

，即

FG

a

=

BG

BD

②，
①+②得

EG

b

+

FG

a

=

DG

BD

+

BG

BD

=1，
而EG=

ab

a+b

，
∴

a

a+b

+

FG

a

=1，
∴FG=

ab

a+b

，
∴EG=FG．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的綜合題：過(guò)半徑的外端點(diǎn)與半徑垂直的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)；掌握?qǐng)A的切線(xiàn)長(zhǎng)定理；運(yùn)用平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理進(jìn)行線(xiàn)段之間的轉(zhuǎn)化．