Question

已知一次函數(shù)y=-

3

4

x+m中，當(dāng)x=0時(shí)，y=6．
（1）請(qǐng)直接寫出m的值；
（2）設(shè)該一次函數(shù)的圖象分別交x軸、y軸于點(diǎn)A、B若點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（0，4），QE⊥AB于E．
①試求QE的長；
②以Q為圓心，QE為半徑作⊙Q，試問在x軸的負(fù)半軸上是否存在點(diǎn)P，使得⊙P與⊙Q、直線AB都相切？若存在，請(qǐng)求出圓心P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）將x=0代入解析式即可求得m的值；
（2）①連接AQ，將問題轉(zhuǎn)化為三角形的面積問題解答；
②根據(jù)切線的性質(zhì)，構(gòu)造出直角三角形BEQ和直角三角形APF，然后利用勾股定理解答．

解答：解：（1）6；（3分）

（2）①如圖1，∵OB=6，OQ=4，∴QB=2．
在y=-

6

4

x+6中，令y=0，得x=8，即OA=8．
在Rt△AOB中，由勾股定理，
得：AB=

62+82

=10．                                               （2分）
連接AQ，∵S△AQB=

1

2

AB•QE=

1

2

BQ•OA，
∴10•QE=2×8，解得QE=1.6．                                            （2分）
②若⊙P與⊙Q內(nèi)切且與直線AB相切．
如圖2，由①延長線段EQ交x軸的負(fù)半軸于點(diǎn)P，以P為圓心，
PE為半徑作⊙P，則⊙P既與⊙Q內(nèi)切，又與直線AB相切．
在Rt△BQE中，由勾股定理得：EB=

22-1.62

=1.2．                     （1分）
∵∠BEQ=∠POQ=90°，又∠BQE=∠PQO，
∴△QEB∽△QOP．                                                         （1分）
∴

EQ

OQ

=

EB

OP

，

1.2

OP

，解得：OP=3．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-3，0）．                                                  （1分）
若⊙P與⊙Q外切且與直線AB相切，設(shè)切點(diǎn)分別為C、F．
連接PF、PQ，則點(diǎn)C在PQ上．

如圖3，設(shè)P（x，0）（x＜0），則AP=8-x
∵∠AFP=∠AOB=90°，又∠FAP=∠OAB，
∴△AFP∽△AOB．
∴

PF

BO

=

AP

AB

，即

PF

6

=

8-x

10

，PF=

3

5

(8-x)=4.8-0.6x，（1分）
∴PC=PF=4.8-0.6x，
PQ=PC+CQ=4.8-0.6x+1.6=6.4-0.6x．
在Rt△POQ中，由勾股定理，得：PQ²=OP²=OQ²
∴（6.4-0.6x）²=x²+4²（1分）
整理得：x²+12x-39=0，
解得：x1=-6+5

3

（不含題意，舍去），x2=-6-5

3

．
綜上，存在符合條件的兩個(gè)點(diǎn)P，坐標(biāo)分別為（-3，0）或（-6-5

3

，0）．        （1分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)和圓的相關(guān)知識(shí)，并具有一定的開放性，題目涉及勾股定理，函數(shù)圖象與坐標(biāo)系的關(guān)系以及相似三角形的性質(zhì)，內(nèi)容繁多，結(jié)構(gòu)復(fù)雜，是一道難題．