Question

【題目】在△AOB中，∠AOB=90°，AO=6厘米，BO=8厘米，分別以O(shè)B和OA所在直線為x軸，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A開(kāi)始沿AO方向以2厘米/秒的速度向點(diǎn)O移動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)O開(kāi)始沿OB方向以4厘米/秒的速度向點(diǎn)B移動(dòng)（其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)隨即停止移動(dòng)）．

（1）求過(guò)點(diǎn)A和點(diǎn)B的直線表達(dá)式；
（2）當(dāng)點(diǎn)M移動(dòng)多長(zhǎng)時(shí)間時(shí)，四邊形AMNB的面積最小？并求出四邊形AMNB面積的最小值；
（3）在點(diǎn)M和點(diǎn)N移動(dòng)的過(guò)程中，是否存在以O(shè)，M，N為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M 和點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵AO=6厘米，BO=8厘米，

∴A（0，6），B（8，0）．

設(shè)AB的解析式為y=kx+b，由題意，得

，

解得： ，

∴直線AB的解析式為y=﹣ x+6；

（2）

解：設(shè)四邊形AMNB的面積為S，M、N運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，由題意，得

AM=2t，ON=4t，

∴OM=6﹣2t，

∴S△OMN= （6﹣2t）4t=﹣4t2+12t．

∴S= ﹣（﹣4t2+12t），

=24+4t2﹣12t，

=4（t﹣ ）2+15．

∵a=4＞0，

∴拋物線的開(kāi)口向上，

∴當(dāng)t= 時(shí)，S最小=15．

答：當(dāng)點(diǎn)M移動(dòng) 秒時(shí)，四邊形AMNB的面積最小，最小值為15厘米2；

（3）

解：當(dāng)△OMN∽△OAB時(shí)，

∴ ，

∴ ，

∴t= ．

∴OM=6﹣2× = ，ON=4× = ，

∴M（0， ），N（ ，0）；

當(dāng)△ONM∽△OAB時(shí)，

∴ ，

∴ ，

∴t= ．

∴OM=6﹣2× = ，ON=4× = ，

∴M（0， ），N（ ，0）

【解析】（1）根據(jù)條件可以求出點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后運(yùn)用待定系數(shù)法就可以求出解析式；（2）設(shè)四邊形AMNB的面積為S，M、N運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，表示出S與t的函數(shù)關(guān)系式，再由其解析式就可以求出結(jié)論；（3）分類討論，當(dāng)△OMN∽△OAB和△ONM∽△OAB時(shí)分別求出t的值就可以求出M、N的坐標(biāo)．
【考點(diǎn)精析】利用確定一次函數(shù)的表達(dá)式和相似三角形的性質(zhì)對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知確定一個(gè)一次函數(shù)，需要確定一次函數(shù)定義式y(tǒng)=kx+b（k不等于0）中的常數(shù)k和b．解這類問(wèn)題的一般方法是待定系數(shù)法；對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形．