Question

【題目】如圖，拋物線 的圖象與x軸交于A（﹣1.0），B（3，0）兩點，與y軸交于點C（0，﹣3），頂點為D．

（1）求此拋物線的解析式．
（2）求此拋物線頂點D的坐標(biāo)和對稱軸．
（3）探究對稱軸上是否存在一點P，使得以點P、D、A為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，請求出所有符合條件的P點的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵拋物線 的圖象與x軸交于A（﹣1.0），B（3，0）兩點，與y軸交于點C（0，﹣3），
∴ ，
解得： ，
∴拋物線的解析式是
（2）解：∵ = ，
∴此拋物線頂點D的坐標(biāo)是（1，﹣4），對稱軸是直線x=1
（3）解：存在一點P，使得以點P、D、A為頂點的三角形是等腰三角形，設(shè)點P的坐標(biāo)為（1，y），分三種情況討論：
①當(dāng)PA=PD時 = ，
解得，y= ，
即點P的坐標(biāo)為（1， ）；
②當(dāng)DA=DP時， = ，
解得，y= ，
即點P的坐標(biāo)為（1， ）或（1， ）；
③當(dāng)AD=AP時， = ，
解得，y=±4，
即點P的坐標(biāo)是（1，4）或（1，﹣4），當(dāng)點P為（1，﹣4）時與點D重合，故不符合題意．
由上可得，以點P、D、A為頂點的三角形是等腰三角形時，點P的坐標(biāo)為（1， ）或（1， ）或（1， ）或（1，4）.
【解析】（1）根據(jù)題意得一個三元一次方程組，解之即可得拋物線解析式.
（2）根據(jù)（1）中得出的解析式，配成頂點式，從而得出頂點式和對稱軸.
（3）存在一點P，使得以點P、D、A為頂點的三角形是等腰三角形，設(shè)點P的坐標(biāo)為（1，y），分三種情況討論：①當(dāng)PA=PD時，②當(dāng)DA=DP時，③當(dāng)AD=AP時，根據(jù)兩點間距離公式計算即可得出P點坐標(biāo).