如圖,拋物線y=x2+bx-2與x軸交于A、B兩點(diǎn),與y軸交于C點(diǎn),且A(-1,0).
(1)求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo);
(2)判斷△ABC的形狀,證明你的結(jié)論;
(3)若點(diǎn)M(0,-4),動點(diǎn)P從M點(diǎn)出發(fā),沿直線運(yùn)動到該拋物線對稱軸的某點(diǎn)E,再沿直線運(yùn)動到x軸上某點(diǎn)F,最后沿直線運(yùn)動到點(diǎn)C,求使點(diǎn)P運(yùn)動的總路程最短的點(diǎn)E、點(diǎn)F的坐標(biāo),并求出這個(gè)最短路程的長.

【答案】分析:(1)利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式,進(jìn)而利用配方法求出頂點(diǎn)坐標(biāo)即可;
(2)根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)得出AC 2=AO 2+CO2=1+4=5,BC 2=BO 2+CO2=16+4=20,AB 2=(AO+BO)2=25,即可得出△ABC的形狀;
(3)作C關(guān)于x=的對稱點(diǎn)C′,M關(guān)于x軸對稱點(diǎn)M′,連接M′C′交x軸于點(diǎn)F、拋物線對稱軸于點(diǎn)E,利用勾股定理求出即可,或者做M點(diǎn)關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點(diǎn)M′(3,-4),做C點(diǎn)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)C′(0,2),連接M'C',進(jìn)而得出即可.
解答:解:(1)∵拋物線y=x2+bx-2經(jīng)過A(-1,0),
∴0=-b-2,
解得:b=-,
∴y=x2-x-2,
∵y=x2-x-2=(x2-3x)-2=(x-2-,
∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為:(,-);

(2)當(dāng)x=0,∴y=-2,
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為:(0,-2),
∴y=x2-x-2與x軸交于A、B,
∴0=x2-x-2,
解得:x1=-1,x2=4,
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為:(4,0),
∴AC 2=AO 2+CO2=1+4=5,
BC 2=BO 2+CO2=16+4=20,
AB 2=(AO+BO)2=25,
∴AC 2+BC 2=AB2
∴△ABC的形狀是直角三角形;

(3)①作C關(guān)于x=的對稱點(diǎn)C′,
M關(guān)于x軸對稱點(diǎn)M′,連接M′C′交x軸于點(diǎn)F、拋物線對稱軸于點(diǎn)E,
則有:MF+FE+EC為點(diǎn)P運(yùn)動的最短路程,
求出直線M′C′:y=-2x+4,
求出點(diǎn)F(2,0),點(diǎn)E(,1),
最短路線為:3
②做M點(diǎn)關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點(diǎn)M′(3,-4),
做C點(diǎn)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)C′(0,2),
連接M'C',則M'C'長度即為所求最小長度3;
M'C'與x軸交點(diǎn)為所求F點(diǎn),
而M'C'與拋物線對稱軸的交點(diǎn)為所求E點(diǎn),
F點(diǎn)坐標(biāo)(1,0),
E點(diǎn)坐標(biāo)(1.5,-1).
點(diǎn)評:此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用和最短路徑問題以及直角三角形的判定方法等知識,根據(jù)已知結(jié)合圖象得出最短路徑求法是解題關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
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精英家教網(wǎng)如圖,拋物線y=x2+4x與x軸分別相交于點(diǎn)B、O,它的頂點(diǎn)為A,連接AB,AO.
(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo);
(2)以點(diǎn)A、B、O、P為頂點(diǎn)構(gòu)造直角梯形,請求一個(gè)滿足條件的頂點(diǎn)P的坐標(biāo).

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16、如圖,拋物線y=-x2+2x+m(m<0)與x軸相交于點(diǎn)A(x1,0)、B(x2,0),點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè).當(dāng)x=x2-2時(shí),y
0(填“>”“=”或“<”號).

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已知如圖,拋物線y=x2+(k2+1)x+k+1的對稱軸是直線x=-1,且頂點(diǎn)在x軸上方.設(shè)M是直線x=-1左側(cè)拋物線上的一動點(diǎn),過點(diǎn)M作x軸的垂線MG,垂足為G,過點(diǎn)M作直線x=-1的垂線MN,垂足為N,直線x=-1與x軸的交于H點(diǎn),若M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x,矩形MNHG的周長為l.
(1)求出k的值;
(2)寫出l關(guān)于x的函數(shù)解析式;
(3)是否存在點(diǎn)M,使矩形MNHG的周長最��?若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,說明理由.

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(2013•揚(yáng)州)如圖,拋物線y=x2-2x-8交y軸于點(diǎn)A,交x軸正半軸于點(diǎn)B.
(1)求直線AB對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式;
(2)有一寬度為1的直尺平行于y軸,在點(diǎn)A、B之間平行移動,直尺兩長邊所在直線被直線AB和拋物線截得兩線段MN、PQ,設(shè)M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m,且0<m<3.試比較線段MN與PQ的大�。�

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精英家教網(wǎng)如圖,拋物線y=x2-2x-3與x軸分別交于A,B兩點(diǎn).
(1)求A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)求拋物線頂點(diǎn)M關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)M′的坐標(biāo),并判斷四邊形AMBM′是何特殊平行四邊形.(不要求說明理由)

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