Question

（10分）已知：如圖所示，拋物線y= -x2+bx+c與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為 A（1，0），B（3，0）。

（1）求拋物線的解析式；

所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）設(shè)拋物線交y軸于點(diǎn)C，問該拋物線對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)M，使得△MAC的周長最小。若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由。

Answer 1

【解析】
（1）依題意有，

∴b=4，c=﹣3，

∴拋物線解析式為；

（2）如圖，設(shè)P（x，y）

∵AB=2，

∴×2×|y|=1

∴y=±1

當(dāng)y=1時(shí)，解得，

當(dāng)y=﹣1時(shí)，解得，

∴滿足條件的點(diǎn)P有三個(gè)坐標(biāo)分別為（2，1），（，﹣1），（，﹣1）；

（3）存在．

過點(diǎn)C作拋物線的對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)C'，如圖

∵點(diǎn)C（0，﹣3），對(duì)稱軸為x=2，

∴C′（4，﹣3），

設(shè)直線AC′的解析式為y=kx+b，

則，

∴k=﹣1，b=1，

∴直線AC′的解析式為y=﹣x+1，

直線AC′與對(duì)稱軸x=2的交點(diǎn)為（2，﹣1），即M（2，﹣1），

∴存在點(diǎn)M（2，﹣1），可使△AMC的周長最小．

【解析】

試題分析：（1）將A（1，0），B（3，0）代入拋物線中，列方程組可求拋物線解析式；

（2）由于AB=3﹣1=2，而，故△PAB中，AB邊上的高為1，即P點(diǎn)縱坐標(biāo)為±1，代入拋物線解析式可求P點(diǎn)橫坐標(biāo)；

（3）過點(diǎn)C作拋物線的對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)C'，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性求得C′（4，﹣3），連接直線AC′，求直線AC′的解析式，直線AC′與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)M

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題