Question

如圖，AC是⊙O的直徑，PA切⊙O于點A，點B是⊙O上的一點，且∠BAC＝30º，∠APB＝60º.

（1）求證：PB是⊙O的切線；

（2）若⊙O的半徑為2，求弦AB及PA，PB的長.

 

Answer 1

【答案】

（1）見解析；（2）2

【解析】

試題分析：（1）連接OB，證PB⊥OB．根據(jù)四邊形的內角和為360°，結合已知條件可得∠OBP=90°得證；

（2）連接OP，根據(jù)切線長定理得直角三角形，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質即可求得結果。

（1）連接OB．

∵OA=OB，∴∠OBA=∠BAC=30°．               

∴∠AOB=80°-30°-30°=20°．             

∵PA切⊙O于點A，∴OA⊥PA，

∴∠OAP=90°．

∵四邊形的內角和為360°，

∴∠OBP=360°-90°-60°-20°=90°．        

∴OB⊥PB．

又∵點B是⊙O上的一點，

∴PB是⊙O的切線．                           

（2）連接OP，

∵PA、PB是⊙O的切線，

∴PA=PB，∠OPA=∠OPB=，∠APB=30°．          

在Rt△OAP中，∠OAP=90°，∠OPA=30°，

∴OP=2OA=2×2=4．                            

∴PA=OP²-OA²=2

     ∵PA=PB，∠APB=60°，

∴PA=PB=AB=2。

考點：此題考查了切線的判定、切線長定理、含30度角的直角三角形的性質

點評：要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．