Question

已知拋物線y=x²+ax+a-2．
（1）證明：此拋物線與x軸總有兩個不同的交點；
（2）求這兩個交點間的距離（用關(guān)于a的表達(dá)式來表達(dá)）；
（3）a取何值時，兩點間的距離最��？

Answer 1

分析：（1）令y=0，根據(jù)方程根的判別式△與0的關(guān)系來證明；
（2）設(shè)出方程x²+ax+a-2=0，兩根為x₁，x₂，根據(jù)兩根與函數(shù)系數(shù)之間的關(guān)系，用其表示出兩根間的距離；
（3）根據(jù)（2）的表達(dá)式，對兩根間距離的表達(dá)式進(jìn)行配方，從而求出最小值；

解答：解：（1）證明：∵y=x²+ax+a-2，
∵△=a²-4（a-2）=a²-4a+8=a²-4a+4+4=（a-2）²+4，
又∵（a-2）²+4＞0，
∴△＞0，
∴此拋物線與x軸總有兩個不同的交點．

（2）解：設(shè)二次函數(shù)y=x²+ax+a-2與x軸的兩交點的橫坐標(biāo)為x₁，x₂，
則方程x²+ax+a-2=0的兩個根為x₁，x₂，
得x₁+x₂=-a，x₁x₂=a-2，
∴|x1-x2|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

(a-2)2+4

．

（3）由（2）知當(dāng)a=2時，兩點間的距離最小為2．

點評：此題主要考查一元二次方程與函數(shù)的關(guān)系，函數(shù)與x軸的交點的橫坐標(biāo)就是方程的根，此題主要考查方程的根與函數(shù)系數(shù)的關(guān)系．