Question

【題目】如圖，BC為⊙O的直徑，CA是⊙O的切線，連接AB交⊙O于點D，連接CD,∠BAC的平分線交BC于點E，交CD于點F．

（1）求證：CE=CF；

（2）若BD=DC，求的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）如下圖，由已知易得∠ACB=∠BDC=∠ADC=90°，由此可得∠1+∠3=90°，∠2+∠5=90°結(jié)合∠1=∠2，可得∠3=∠5，結(jié)合∠3=∠4可得∠4=∠5，從而可得CE=CF；

（2）由（1）中所得∠1=∠2，∠3=∠5可得△ADF∽△ACE，由此可得 由BD=DC，∠BDC=90°可得tan∠ABC=，再證∠ACD=∠ABC即可得到tan∠ACD=，這樣在Rt△ACD中，可得sin∠ACD=，由此即可得到.

（1）∵BC為直徑，

∴∠BDC=∠ADC=90°，

∴∠1+∠3=90° ，

∵AC是⊙O的切線，

∴∠ACB=90°，

∴∠2+∠5=90°，

∵AE平分∠BAC，

∴∠1=∠2，

∴∠3=∠5，

∵∠3=∠4

∴∠4=∠5，

∴ CF=CE ；

（2）由（1）可知∠1=∠2，∠3=∠5，

∴△ADF∽△ACE，

∴，

∵BD=DC，∠BDC=90°，

∴tan∠ABC=，

∵∠ABC+∠BAC=90°, ∠ACD+∠BAC=90°

∴∠ACD=∠ABC，

∴tan∠ACD=，

∴sin∠ACD=，

∴.