Question

如圖，在Rt△ABC中，AB=AC，D、E是斜邊BC上兩點(diǎn)，且∠DAE=45°，將△ADC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，得到△AFB，連接EF，下列結(jié)論：（1）△AED≌△AEF；（2）△ABE∽△ACD；（3）BE+DC=DE；（4）BE²+DC²=DE²．其中正確的是（ ）

A．（2）（4）
B．（1）（4）
C．（2）（3）
D．（1）（3）

Answer 1

【答案】分析：由△ADC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△AFB，可知△ADC≌△AFB，∠FAD=90°，由∠DAE=45°可判斷∠FAE=∠DAE，可證①△AED≌△AEF．由已知條件可證△BEF為直角三角形，則有④BE²+DC²=DE²是正確的．
解答：解：∵△ADC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△AFB，
∴△ADC≌△AFB，∠FAD=90°，
∴AD=AF，
∵∠DAE=45°，
∴∠FAE=90°-∠DAE=45°，
∴∠DAE=∠FAE，
∵在△AED與△AEF中，
，
∴△AED≌△AEF（SAS），故①正確；
∵∠BAE與∠CAD的大小無(wú)法確定，
∴△ABE與△ACD是否相似無(wú)法確定，故②錯(cuò)誤；
同理，DE與BE+DC的大小也無(wú)法確定，故③錯(cuò)誤；
∵△AED≌△AEF，
∴ED=FE，∠ACB=∠ABF，
在Rt△ABC中，
∵∠ABC+∠ACB=90°，
∴∠ABC+∠ABF=90°即∠FBE=90°，
∴BE²+BF²=FE²，即BE²+DC²=DE²，故④正確．
故選B．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，涉及到全都三角形的判定與性質(zhì)、圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識(shí)，難度適中．